湖南省长沙市长郡中学2023届高三下学期月考(六)数学试题

长郡中学2023届高三月考试卷（六）数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则的实部为（） A. B. C. 1 D. 2 3. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在边长为2正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升.某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件“甲乙两人所选课程完全不同”，事件“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则（ ） A. A与B为对立事件 B. A与C互斥 C A与C相互独立 D. B与C相互独立 6. 已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，底面是以B为直角顶点的直角三角形，且，三棱锥P-ABC的体积为，过点A作于M，过M作MN⊥PC于N，则三棱锥P-AMN外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 8. 已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则以下四个命题：①；②；③；④中一定成立的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题，本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知定义域为的偶函数在区间上单调递增，且，使，则下列函数中符合上述条件的是（ ） A. B. C. D. 10. 记函数的最小正周期为，且.若为的零点，则（ ） A. B. C. 为的零点 D. 为的极值点 11. 拋物线的焦点为，过的直线交拋物线于两点，点在拋物线上，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则的最小值为4 B 当时， C. 若，则的取值范围为 D. 在直线上存在点，使得 12. 在平面四边形ABCD中， 的面积是面积的2倍，又数列满足，恒有，设的前n项和为，则（ ） A. 为等比数列 B. 为等差数列 C. 为递增数列 D. 三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分 13. 已知甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据： 甲组：、、、、、； 乙组：、、、、、. 若这两组数据的第百分位数，第百分位数分别对应相等，则___________. 14. 若，且，则最小值为___________，的最大值为___________． 15. 在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,平面平面,则体积的最大值为__________. 16. 设，，是的三个内角，的外心为，内心为．且与共线．若，则___________． 四．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. 已知数列满足，，. （1）证明：是等比数列 （2）求数列的前2n项和. 18. 如图，在平面四边形中，，． （1）若平分，证明：； （2）记与的面积分别为和，求的最大值． 19. 三棱台的底面是正三角形，平面，，，，E是的中点，平面交平面于直线l． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 20. 2020年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大．某商家决定借助线上平台开展销售活动．现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为元时，从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下， 商品日销售量（单位：件） 6 7 8 9 10 甲平台的天数 14 26 26 24 10 乙平台的天数 10 25 35 20 10 假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销售量互不影响， （1）求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率； （2）已知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；乙平台的收费方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8件的部分，每件收费40元，超过8件的部分，每件收费35元．某商家决定在两个平台中选择一个长期合作，从日销售收入（单价×日销售量-平台费用）的期望值较大的角度，你认为该商家应如