2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（特殊四边形问题）

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（特殊四边形问题） 1．如图，二次函数的图象与x轴交于点A和B，点B的坐标是（4，0），与y轴交于点C（0，－3），点D在抛物线上运动． (1)求抛物线的表达式； (2)当点E在x轴上运动时，探究以点B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点E的坐标． 2．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点与轴的另一个交点为，连接． (1)求抛物线的函数解析式． (2) 为轴的下方的抛物线上一动点，求的面积的最大值． (3)为抛物线上一动点，为轴上一动点，当以为顶点的四边形为平行四边形时，求点的坐标． 3．如图，抛物线经过，两点，且对称轴为直线． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线与抛物线交于点M，N，交x轴于点B，交y轴于点P，连接，且． ①求的面积； ②在平面内是否存在点一是E，使E，C，N，M四点能构成平行四边形，如果存在，请直接写出点E的坐标． 4．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)动点M，N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段，上向点B，C运动，过点M作x轴的垂线交于点F，交抛物线于点H，当四边形为矩形时，求点H的坐标． 5．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点是x轴上的一个动点，过点P作直线轴，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N． (1)求这个抛物线的函数表达式． (2)①若点P在线段OB上运动，求线段MN的最大值； ②若点P在x轴的正半轴上运动，在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线与轴交于原点及点，且经过点，对称轴为直线，连接交轴于点． (1)直接写出抛物线的解析式为___________； (2)在抛物线上取点，点在点左侧，连接、，若且，求两点的坐标； (3)连接，点为轴下方抛物线上一动点，过点作的平行线交直线于点，当时，求出点的坐标． 7．如图，已知抛物线交轴于A、B两点，交轴于点，A点坐标为，，，点为抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式； (2)为坐标平面内一点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标； (3)若抛物线上有且仅有3个点、、使得、、的面积均为定值，求出定值以及、、这三个点的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点和，与y轴交于点C，抛物线上有一动点P，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接，作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线上方抛物线上一动点时，连接，当时，求点P坐标； (3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q，x轴上有一动点N，是否存在四边形是矩形？若存在，在横线上直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线经过、、三点． (1)求a，b，c的值； (2)在抛物线对称轴上找出一点P，使的值最小，并求出此时的面积； (3)若点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，已知直线与x轴交于点D，与y轴交于点C，经过点C的抛物线与x轴交于、B两点，顶点为E． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)连接，求的值； (3)设P为抛物线上一动点，Q为直线上一动点，是否存在点P与点Q，使得以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 11．如图，对称轴为直线的抛物线经过点和． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点在第四象限抛物线的图像上，当平行四边形的面积为24时，求点的坐标； (3)在直线是否存在一点，使得与相似，如存在求出点坐标，如果不存在请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线和抛物线交于点，，且点B是抛物线的顶点． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点，求当面积最大时点P的坐标； (3)M是直线上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 13．综合与探究 如图1（注意：图1与图2完全相同）所示，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式： (2)设抛物线的顶点为，求四边形的面积．（请在图1中探究） (3)设点在轴上，点在抛物线上，要使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点的坐标．（请在图2中探究） 14．已知，如图：抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为K，