2023年 九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（相似三角形问题） 1．如图，设抛物线与轴交于两个不同的点、，对称轴为直线，顶点记为点．且． (1)求的值和抛物线的解析式； (2)已知过点A的直线交抛物线于另一点．若点在轴上，以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，的外接圆半径等于　　．（直接写答案） 2．如图，已知正方形的边，分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为．二次函数的图象经过点A，B，且x轴的交点为E，F．点P在线段上运动，过点O作于点H．直线交直线于点D，连接． (1)求，的值及点E和点F的坐标； (2)在点P运动的过程中，当与以A，B，D为顶点的三角形相似时，求点P的坐标； (3)当点P运动到的中点时，能否将绕平面内某点旋转后使得的两个顶点落在x轴上方的抛物线上？若能，请直接写出旋转中心M的坐标；若不能，请说明理由． 3．如图，抛物线经过，两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，交BC于点F．点P是抛物线上一点，点P的横坐标为m． (1)求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P在第一象限，过点P作x轴的垂线交于点Q，设，求h与m的函数解析式并求出h的最大值 (3)连接，如图2，若，求点P的坐标． 4．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为，与y轴相交于点C，连接，已知点． (1)求两点坐标和抛物线的解析式； (2)设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与重合），过点P作，垂足为点． ①点P在运动过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值以及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由： ②当以为顶点的三角形与相似时，求点P的坐标． 5．已知抛物线经过点，，与x轴交于另一点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，P是第一象限内抛物线上一点，且，求直线的表达式； (3)在抛物线上是否存在点D，直线交x轴于点E，使与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图①，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线，是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)过点向轴作垂线（如图②），垂足为点，是否存在点，使与相似？若存在，请求出点横坐标的值；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知抛物线交x轴于点A，与直线交于点B（非原点），过点B作轴交抛物线于点C，． (1)求a的值． (2)若是线段上一点，过点作轴的垂线分别交直线与抛物线于，．求线段的最大值． (3)若P是射线上一点，过点P作x轴的垂线分别交直线与抛物线于E，F，作点F关于直线的对称点G，连结，．是否存在与相似，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点G的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线相交于两点． (1)求出抛物线的解析式； (2)在坐标轴上是否存在点D，使得是以线段为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由； (3)点P是线段上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作轴于点C，交于点N，若的面积满足，求出的值，并求出此时点M的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点． (1)求证：； (2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点． ①求的最大值； ②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 10．如图，抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点M是x轴上的动点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在直线BC下方抛物线上一点P，作垂直于点Q，连接，当中有一个角等于时，求点P的坐标． 11．如图，抛物线的图像过点A(3，0)，对称轴为直线，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为B． 若点P(0，m)，在轴正半轴上运动，点Q为抛物线一动点，且在第四象限，连接PQ交x轴于点E，连接BE． (1)求抛物线的解析式 (2)当m=1.5时，且满足以P、O、E三点构成三角形与BCP相似，求PBE的面积． (3)当以点B、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形时，写出点P的坐标 ，点Q坐标 ． 12．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1． (1)求抛物线的解析式； (2)