6.2.2 空间向量的坐标表示-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第二册)

6.2.2 空间向量的坐标表示 一、空间直角坐标系 在空间选定点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴.轴、轴，它们都叫作坐标轴。 这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫作原点，都叫作坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系. 二、空间一点的坐标表示 1、空间点的表示：在空间直角坐标系中为坐标向量。 给定任一向量，存在唯一的有序实数组，使. 有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作。 也叫点在空间直角坐标系中的坐标，记作. 2、空间点对称的特点： 空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解。对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论。 三、空间向量的坐标运算 1、空间两点的距离公式 若,，则 ① 即：一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。 ②，或 2、向量加减法、数乘的坐标运算 若，，则： ①；②；③； 3、向量数量积的坐标运算 若，，则：； 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 4、空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，，则 ①，． ②． 【注意】 （1）夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中θ的范围是 （2） （3）用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 5、空间向量平行和垂直的条件 若，，则 ①，， ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直. 题型一 空间向量的坐标表示 【例1】如图，正方体的棱长为2，是上的点，且，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，直三棱柱的所有棱长都是，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则顶点的坐标是__________． 【变式1-2】已知点，向量，则点坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知点，，点满足，则点的坐标是________. 题型二 空间点的对称问题 【例2】在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知点，点A关于x轴的对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】在空间直角坐标系中，已知点．给出下列命题： ①点关于轴的对称点的坐标为； ②点关于平面的对称点的坐标为； ③点关于轴的对称点的坐标为； ④点关于原点的对称点的坐标为． 其中真命题的个数是． A． B． C． D． 题型三 空间坐标的基本运算 【例3】若，，，则的值为（ ） A． B．5 C．7 D．36 【变式3-1】（多选）对于任意非零向量，，以下说法错误的有( ) A．若，则 B．若，则 C． D．若，则为单位向量 【变式3-2】已知向量，，若，则k的值等于（ ） A．1 B． C． D． 【变式3-3】已知，，且，则向量与的夹角为（ ） A． B． C． D． 题型四 空间向量平行的坐标表示 【例4】若向量，，且，则的值为（ ） A． B．0 C．6 D．8 【变式4-1】已知向量与共线，则实数（ ） A． B． C．或 D．或 【变式4-2】空间向量，若，则__． 【变式4-3】已知，，且，则（ ） A．， B．， C．， D．， 题型五 空间向量垂直的坐标表示 【例5】已知向量，若，（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式5-1】已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】三个顶点的坐标分别为，则的形状为（ ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．正三角形 D．直角三角形 【变式5-3】如图，在棱长为的正方体中，是底面正方形的中心，点在上，点在上，若，则（ ） A．