2.5.3利用数量积计算长度和角度-【超级课堂】2022-2023学年高一数学教材配套教学精品课件+分层练习(北师大版2019必修第二册）

2.5.3利用数量积计算长度和角度 2 知识要点3 向量的数量积是研究几何图形度量和位置关系问题的有力工具。涉及长度、夹角、平行、垂直等几何问题，通常可以运用向量的数量积运算加以解决。 一 向量长度的计算   例1： 例2 用向量方法证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 已知:四边形ABCD是平行四边形. 求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.   变式 证明菱形的两条对角线互相垂直. 证明：菱形ABCD中，AB=AD，由于 可得 =0， 所以， 即菱形的两条对角线互相垂直. A B C D O 7 7 例3 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)， 试判断ABC的形状，并给出证明. A(1,2) B(2,3) C(-2,5) x 0 y 二、向量夹角的计算 例4 已知单位向量 , 的夹角为60°，求向量 , 的夹角. 解：由单位向量 , 的夹角为60°，得 所以 ② ① 所以 又 9 9 设 与 的夹角为 ， 由①②可得 又 所以 . 即向量 与 的夹角为 . 10 10 课堂练习 解： 18 知识要点3 ⑷ 温故知新1.记 ,则 · =x1x2+y1y2 2.几个重要结论: ⑴两个非零向量垂直的充要条件: 设非零向量 , EMBED Equation.3 ⑵向量的长度(模): ,则 . ⑶如果 , ,则 = , ∴ ,这就是平面内两点间的距离公式. ⑷ 小结1.记 ,则 · =x1x2+y1y2 2.几个重要结论: ⑴两个非零向量垂直的充要条件: 设非零向量 , EMBED Equation.3 ⑵向量的长度(模): ,则 . ⑶如果 , ,则 = , ∴ ,这就是平面内两点间的距离公式. $ 2.5.3利用数量积计算长度和角度随堂练习 一、单选题 1．已知向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，向量，则的形状为(    ) A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰非直角三角形 3．已知向量，,,则 A． B． C．5 D．25 4．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 5．在平行四边形中，，，. 对角线AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 设，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．已知平面向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（　  ） A． B． C． D． 7．已知＝(1，n)，＝(－1，n)．若2－与垂直，则||＝（    ） A．1 B． C．2 D．4 8．在平行四边形中，点，满足，，且，设，则（    ） A． B． C．2 D． 二、多选题 9．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若向量同向，则 B．若向量反向，则 C．若，则 D．若，则 10．已知向量，，，向量是与方向相同的单位向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（       ） A．a与b的夹角为钝角 B．向量a在b方向上的投影向量为 C．2m+n=4 D．mn的最大值为2 三、填空题 11．已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是________ 12．已知，且与夹角为钝角，则的取值范围___________. 13．已知，，且向量与的夹角为，则__________． 14．已知，，向量在上的投影向量为__. 四、解答题 15．已知向量，. (1)求与的夹角： (2)若满足，，求的坐标. 16．已知向量，． (1)求； (2)设，的夹角为，求的值； (3)若向量与互相平行，求k的值． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第1页，共3页 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.3利用数量积计算长度和角度随堂练习 一、单选题 1．已知向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的夹角公式进行求解，再结合平面向量夹角范围即可得到答案 【详解】解：，因为，所以， 故选：C 2．已知向量，向量，则的形状为(    ) A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰非直角三角形 【答案】A 【分析】由向量的模求得三角形三边长后，再判断三角形形状． 【详解】由题意，， ，， 而，∴是等腰直角三角形． 故选：A． 3．已知向量，,,则 A． B． C．5 D．25 【答案】C 【详解】将平方得，选C. 4．已知向量，则（    ） A． B． C． D．