2.5.1向量的数量积-【超级课堂】2022-2023学年高一数学教材配套教学精品课件+分层练习(北师大版2019必修第二册）

2.5.1 向量的数量积 两个非零向量 和 ，作 ， ，则 （ ）叫作向量 与 的夹角． O A B 向量的夹角 计算向量的夹角时要将两个向量起点放在一起. 温故知新 2 2 O A B 若 ， 与 同向 O A B 若 ， 与 反向 O A B 若 ， 与 垂直， 记作 由于零向量的方向是任意的，为方便起见， 规定:零向量可与任一向量垂直. 3 3 θ s F 一个物体在力F 的作用下产生的位移s,那么力F 所做的功应当怎样计算？ 其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量. 一、向量数量积的定义 实例分析 当0°≤θ＜90°时，W＞0, 即力F做正功； 当θ＝90°时，W＝0，即力F不做功； 当90°＜θ≤180°时，W＜0，即力F做负功. 从力所做的功出发，我们引入向量的数量积的概念. 5 5 规定:零向量与任一向量的数量积为0。 抽象概括 6 注意： 数量积 a · b =| a || b |cos    注意公式变形，知三求一.  “ · ”不能省略不写，也不能写成“×”  一种新的运算 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正， 什么时候为负？ a · b =| a || b |cos （1）若a=0，则对任意向量b，有a•b=0 （　　） （2）若a 0，则对任意非零向量b，有a• b 0 ( ) （3）若a 0，且a•b=0，则b=0 （　　） （4）若a•b=0 ，则a=0或b=0 （　　） （5）对任意向量a有 （　　） （6）若a 0，且a•b= a•c ，则b=c （　　） 巩固提升:判断正误 a²=|a|² × × × × √ √ 向量的数量积是向量之间的一种乘法，与数的乘法是有区别的 10 变式.已知正三角形ABC的边长为1，求（1） （2） （3） A C B 例1.已知正三角形ABC的边长为1，求（1） （2） （3） A C B ，过点B 作BB1垂直于直线OA，垂足为 B1，则 | | cosθ叫作向量 在 方向 上的射影(也叫投影)． 当θ为锐角时， | | cosθ_____0 ＞ 二、投影？ O A B B1 13 13 O B A 当θ=0°时， | |cosθ=_____ | | 当θ为钝角时， | | cosθ___0. 当θ为直角时， | |cosθ____0 ＜ = B O A θ O A B θ 14 14 O B A 当θ=180°时， | | cosθ=_____ B1 物理实例中，与位移 方向一致的分力 的长度为 ︱ ︱cosθ，即是力 在 方向上的射影. θ -| | 15 15 例2：已知|a|=3, |b|=5，且a·b=－12，求a在b方向上的正射影的数量及b在a方向上的正射影的数量。 解：因为 所以a在b方向上的正射影的数量是 b在a方向上的正射影的数量是 变式、 ， ， 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影为 。 三.数量积的运算性质：1.运算律 判断下列说法的正误: （1）平面向量的数量积可以比较大小. ( ) （2） ( ) （3）已知 为非零向量,因为0× = ， · = 0, 所以 = ( ) (4) ( ) √ × × × 巩固提升 19 19 2.数量积的性质 1.若 是单位向量，则： 2. 3. 4. 5. 当且仅当 ∥ 时等号成立. 20 20 例3 证明菱形的两条对角线互相垂直. A B C D O 证明 菱形ABCD中,AB=AD 即菱形的两条对角线互相垂直. 解： 由于 故存在实数k， 例4： 例5： 解： 例6： 解： 例 7：求证： 25 两个向量的数量积是否 为零,是判断相应的两条 直线是否垂直的重要方 法之一. 例8、 24 135° 钝角 直角 0 －