2.4.1平面向量的基本定理-【超级课堂】2022-2023学年高一数学教材配套教学精品课件+分层练习(北师大版2019必修第二册）

2.4.1平面向量的基本定理 （1）小明从A到B，再从B到C，则他两次的位移之和是： A B C D （2）向量共线定理： 三角形法则 平行四边形法则 首尾相接，首尾连 共起点 温故知新 １．问题情景：　　 在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论. 如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？ F1 G F2 问题:一天,2只住在正西方向的大猴子和4只住在北 偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分 别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是 100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子 往哪边运动? 2．问题情景：　　 问题:一天,2只住在正西方向的大猴子和4只住在北 偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分 别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是 100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子 往哪边运动? 如果是1只大猴子和4只小猴子呢? 2．问题情景：　　 答：一个向量可以分成两个不同方向的向量 思考：从这些实例中我们看到了什么？ 概括：如果 是平面内的两个不平行的向量， 是该平面内的任意一个非零向量，那么 与 之间有什么关系呢？ 概括：如果 是平面内的两个不平行的向量， 是该平面内的任意一个非零向量，那么 与 之间有什么关系呢？ 问题提出 任意两个向量的加法、减法、数乘运算的结果都是一个向量。反过来，对于平面内给定的两个不共线向量e1 ， e2 ，任意一个向量a是否都可以用形如 的形式来表示呢？ 问题：1. 能用 表示吗？ 2. 确定了， 表示形式唯一吗？ 研究 分析理解 A B C D E F （１）平面向量基本定理 存　在　性 唯　一　性 存在 如果 是同一平面内两个不共线向量， 那么对于这一平面的任意向量 一对实数， 使 有且只有 思考： 上述表达式中的 是否唯一？ （ 2 ） 基底： 把不共线的向量 叫做这一平面内 所有向量的一组基底． 一个平面向量用一组基底 ( 3 ) 正交分解： 表示成： 称它为向量的分解． 当 互相垂直时，称为向量的正交分解． 特别地： λ1=0，λ2≠0时， 共线. λ1≠0，λ2=0时， 共线. λ1=λ2=0时， 抽象概括 (1)不共线的向量 叫做这一平面内所有向量 的一组基底; 平面向量基本定理: (4)基底给定时,分解形式唯一. 如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 , 使 (3) 任一向量 都可以沿两个不共线的方向（ 的 方向）分解成两个向量（ ）和的形式； 说明： (2)基底不唯一; 数学建构 1）平面向量基本定理的理解 有且只有 使 若 与 共线，则 使 若 ⑴ ⑶ 正交基底： 一个平面向量用一组基底 表示成： 称它为向量的分解． ⑵ 基底： 把不共线的向量 叫做这一平面内 所有向量的一组基底． 当 互相垂直时，称为向量的正交分解． 2）平面向量基本定理的拓展 ♦ 探究２： 一组平面向量的基底有多少对？ 无数对 ♦ 探究３： 若基底选择不同，则表示同一向量的 实数 是否相同？ 可以相同,也可不同 O F C E A E B N 例1 例2 1）已知向量 求作向量 则下面的四组向量中不能作为一组基底的是 是平面内所有向量的一组基底， 2）若 （B） 例2 如图， ABCD中，E，F分别为BC，DC的中点, A C B D F E 解：设 解方程组 O A B P 另解:可以试着将 5 说明：(1) 本题是个重要题型：设O为平面上任一点，则： 　A、P、B三点共线 或令 = 1  t， = t，则 A、P、B三点共线 (其中 +  = 1) (2) 当t = 时， 常称为△OAB的中线公式(向量式)． D B C A E F 19 19 19 A B C D 课堂练习 想一想：若 ，则如何证明点O是△ABC的重心？ 当堂测、查疑缺