5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质教学设计（第2课时）（李海玲）-高中数学新教材必修第一册小单元教学+专家指导（视频+教案）

课题：5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第二课时） 太原市进山中学校 李海玲 一、教学内容： 正弦函数、余弦函数的性质 二、教学目标： （一）、了解周期函数、周期、最小正周期的含义 达成上述目标的标志是：首先从观察正弦曲线入手，发现图象每隔２π个单位长度就会重复出现；再引导学生借助单位圆，从定义来说明，或从公式一入手进行分析，从函数解析式发现它的性质.在多角度的观察、描述与思考中，提升学生的直观想象和逻辑推理的素养. （二）、掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值． 达成上述目标的标志是：通过对正弦函数的图象的观察分析，对于表格认真填写后，可以领悟知识，注重数形结合思想的渗透，培养直观想象和归纳概括能力. （三）、会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值． 达成上述目标的标志是：通过例1 的分析，归纳方法. 三、教学重点及难点 （一）重点：y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值． （二）难点：应用正、余弦函数的性质来求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值． 四、教学过程设计 问题1：类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？ 师生活动:学生根据以往的函数性质会答我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等．所谓性质，就是研究对象在变化过程中保持不变的特征.从前面图像的研究中，我们已经看到， 三角函数具有“周而复始”的变化规律，这就是三角函数最重要的性质：周期性. 问题2：观察单位圆上点的纵坐标这种“周而复始”的变化规律，猜想正弦函数的周期是多少？用代数方法如何解释你的猜想？ 师生活动:首先，学生可以根据图象说岀正弦函数的周期２π，４π，６π….教师适当启发， 引导学生进一步说出－２π，－４π，－６π…，直至，，即正弦函数的周期有无穷多个.然后学生利用公式一从代数的角度解释猜想的正确性.最后，教师给出周期函数的定义，并让学生回答正弦函数是否为周期函数，若是，则指出其周期. 追问1： ，… 那么 是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？为什么？这种情况与说（）是正弦函数的周期有什么不同？（不是，比如，根据公式一可知，对于正弦函数定义域内的每一个自变量，当自变量的值每增加（）个单位时，函数值都重复岀现.） 追问2：在正弦函数的所有正周期中，是否存在一个最小的正数？ 师生活动:教师启发学生观察正弦函数图象获得的正数：.即为正弦函数的最小正周期.教师指出，在后续的学习中，如果不加特别说明，那么所涉及的周期，一般都是指函数的最小正周期. 设计意图：直观理解正弦函数的周期性，了解最小正周期. 问题3：请你阅读课本，回答下列问题：什么叫周期函数？什么叫周期？什么叫最小正周期？如果一个函数是周期函数，那么它满足的代数关系是什么？图象特征是什么？ 师生活动:周期性的知识梳理 一般地，对于函数 ,如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有那么函数就叫做周期函数（periodicfunction）．非零常数T叫做这个函数的周期（period）． 周期函数的周期不止一个．例如，２π，４π，６π，…以及－２π，－４π，－６π，…都是正弦函数的周期．事实上，且 ≠０，常数都是它的周期． 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期（minimalpositiveperiod）． 一个函数是周期函数，那么它满足的代数关系是， 图象特征是周而复始变化． 追问1：知道了一个函数的周期，对研究它的图象与性质有什么帮助？ 师生活动：明确周期函数的定义，并让学生回答正弦、余弦函数是否为周期函数，如果是，分别指出它们的周期和最小正周期.对于追问,学生先独立完成，之后进行展示交流，在此基础上教师进行梳理总结. 结论：根据上述定义，我们知正弦函数是周期函数， （k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．类似地，余弦函数也是周期函数， （k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π． 设计意图：了解一般周期函数及相关概念，为下面的研究作铺垫. 追问2：例1你能求出下列三角函数的周期吗？ （1）y＝3sinx，x∈R； （2）y＝cos 2x，x∈R； （3） ，x∈R; 师生活动：依据定义解析 (1)因为3sin(x+2π)=3sinx，所以由周期函数的定义知，y=3sin x的最小正周期为2π. (2)因为cos2(x+π)=cos(2x+2π)=cos2x，所以由周期函数的定义知，y=cos2x的最小正周期为π.