专题6-2 数列大题综合18种题型（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）

专题6-2 数列大题综合18种题型 目录 讲高考 1 题型全归纳 2 【题型一】恒成立求参 2 【题型二】数列“存在型”求参 3 【题型三】“存在型”证明题 3 【题型四】数列“存在型不定方程型 3 【题型五】双数列相同项“存在型” 4 【题型六】新数列与“子数列”型 4 【题型七】“下标”数列型 5 【题型八】指数型常规裂项求和 5 【题型九】“指数等差型”裂项求和 5 【题型十】“指数分子拆分型”裂项求和 6 【题型十一】“正负裂和”型裂项求和 7 【题型十二】“分离常数型”裂项求和 7 【题型十三】先放缩再裂项求和 8 【题型十四】前n项积型 8 【题型十五】解数列不等式 8 【题型十六】证明数列不等式 9 【题型十七】求和：范围最值型 9 【题型十八】“隐和型” 10 专题训练 10 讲高考 1．（·湖南·高考真题）数列满足． (1)求，并求数列的通项公式； (2)设，求使的所有k的值，并说明理由． 2．（2022·天津·统考高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 3．（2022·全国·统考高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 4．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 5．（2021·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 题型全归纳 【题型一】恒成立求参 【讲题型】 例题1.已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式; (2)数列的前项和为，且对任意的恒成立，求实数的取值范围.（参考数据: ） 【讲技巧】 一般情况下数列恒成立，通过分参等，转化为“数列型函数”，再借助函数单调性求最值。求最值时候要注意“数列型函数”是离散型。 【练题型】 已知数列中，. (1)求证：是等比数列，并求的通项公式； (2)数列满足，数列的前项和为，若不等式成立的自然数恰有4个，求正整数的值. 【题型二】数列“存在型”求参 【讲题型】 例题1.设正项数列的前项和为，首项为1，已知对任意整数，当时，（为正常数）恒成立． (1)求证：数列是等比数列； (2)证明：数列是递增数列； (3)是否存在正常数，使得为等差数列？若存在，求出常数的值；若不存在，说明理由． 【练题型】 已知是数列的前项和，且，数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式 (2)记数列的前项和为，是否存在实数使得数列成等差数列，若存在，求出实数的值若不存在，说明理由． 【题型三】“存在型”证明题 【讲题型】 例题1.已知正项数列，其前n项和，满足. (1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式； (2)数列中是否存在连续三项，使得构成等差数列？请说明理由. 【讲技巧】 数列这类“存在某些项等”证明型题，对于运算，特别是含字母的运算要求较高。在二轮复习训练时，要注意对计算方面的拆解分析 【练题型】 在数列中，已知，，且对于任意正整数n都有. (1)令，求数列的通项公式； (2)设m是一个正数，无论m为何值，是否都有一个正整数n使成立. 【题型四】数列“存在型不定方程型 【讲题型】 例题1.设公比为正数的等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，数列 满足 . (1)求数列 和 的通项公式； (2)是否存在，使得 是数列 中的项？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 【讲技巧】 涉及到“存在型不定方程”，可以从分类讨论方面入手，可以从奇偶数方面分析，可以从约数整除方面讨论。 【练题型】 已知数列满足. (1)证明：是等比数列. (2)判断是否可能是数列中的项.若是，求出的最大值；若不是，请说明理由. 【题型五】双数列相同项“存在型” 【讲题型】 例题1.已知是等差数列，是公比不为1的等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若集合，且，求中所有元素之和. 【讲技巧】 双数列相同项，一般情况下，也是解“不定方程” 【练题型】 已知数列的通项公式为，等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，的前n项和分别为，，求满足（）的所有数对． 【题型六】新数列与“子数列”型 【讲题型】 例题1.已知数列，其前项和分别为，且分别满足，. (1)求数列，的通项公式. (2)将数列，的各项按，，，…，顺序排列组成数列，求数列的前项和. 【练题型】 已知等差数列和等比数列满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前n项和为，求． 【题型七】“下标”数列型 【讲题型】 例题1.已知数列，，是数列的