专题15 相似三角形-备战2023年中考数学一轮复习考点帮（上海专用）

专题15 相似三角形 相似三角形是中考数学的重点和难点，基础概念和性质主要出现在选填题中，难点主要出现在解答题中，尤其是第23题对逻辑推理，综合分析能力要求较高，还有第24，25题相似三角形的知识点可能渗透在其中，压轴题对学生的综合能力考查要求更高。 1.线段与角这两种最简单的几何图形的相关概念、画法及大小比较．重点的是尺规作图及线段与角的和、差、倍的相关计算．等知识点直接考查． 2．掌握相交线的性质、对顶角和垂直的有关特性；平行线的判定与性质的综合考查. 一、比例线段及比例的性质 1.比例线段： 　　（1）线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项. 　　（2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 　　（3）比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 　　（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项． 要点： 通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以. 2.比例的性质 　　(1)比例的基本性质： 　　(2)反比性质： 　　(3)更比性质: 或 　　(4)合比性质: 　　(5)等比性质: 且 3.平行线分线段成比例定理 　 （1）三角形一边的平行线性质定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 　 （2）三角形一边的平行线性质定理推论:平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例. （3）三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. （4）三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. （5）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例. （6）平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 　　这几个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之,有比例可得到平行线.首先要弄清三个基本图形： 　　　　 　　这三个基本图形的用途是: 　　1.由平行线产生比例式 　　基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或 　　基本图形(2): 若DE//BC，则或或或 　　基本图形(3): 若AC//BD，则或或或 　　在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置. 　　2．由比例式产生平行线段 　　基本图形(2):若, , , ,, 之一成立， 则DE//BC. 　　基本图形(3):若, , , , , 之一成立， 则AC//DB. 要点： （1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例； （2）平行线分线段成比例没有逆定理； （3）由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中. A型 X型 常用的比例式：. （4）判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例). 4.三角形的重心 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 要点： （1）重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍； （2）重心的画法：两条中线的交点. 二、黄金分割 1.黄金分割 是指把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项(AC2＝AB·BC)，C点为黄金分割点. 2.黄金分割的求法 　　①代数求法： 　　已知：线段AB ，求作：线段AB的黄金分割点C. 　　分析：设C点为所求作的黄金分割点，则AC2＝AB·CB， 　　 　　 设AB＝，AC＝x，那么　CB＝－x， 由AC2＝AB·CB，得：x2＝·(－x) 　　整理后，得：x2＋x－ ＝0， 根据求根公式，得：x＝ 　　 ∴(不合题意，舍去) 　　 即AC＝AB≈0.618AB， 则C点可作. 　　②黄金分割的几何求法（尺规法）： 　　已知：线段AB， 求作：线段AB的黄金