第1讲 空间问题 讲义-2023届高考数学立体几何二轮复习

第1讲 空间问题 知识与方法 空间的距离有六类:点与点的距离、点与线的距离、点与面的距离、线与线的距离、线与面的距离以及面与面的距离(后三个距离分别特指在线线平行或异面、线面平行、面面平行的前提下).这六类距离概念中,点与点的距离、点与线的距离以及平行线之间的距离事实上为平面几何的问题,在此我们不再详述;而后四个概念(除平行线间的距离外)的核心是点面距离,因为其他三个距离都可以转化为点面距离的问题来求解.距离是立体几何中最重要的几何量之一,我们有必要对它进行充分的研究.本专题我们来介绍立体几何中距离问题的解决方法. 典型例题 【例1】如图,在单位正方体中,为的中点,则点到平面的距离为 . 【例2】如图，已知四面体ABCD中，是边长为2的正三角形， .求: (1)点到平面的距离; (2)点到平面的距离. 【例】3 如图，已知E,F分别是正方形ABCD边AB，AD的中点，EF交于点平面.若,求点到平面的距离. 【例4】 在单位正方体中,求异面直线与的距离. 【例】5 在四面体ABCD中AB=CD，BC=DA，AC=BD，E，F分别为AB,CD的中点，且,则异面直线与间的距离是 . 强化训练 1.如图,直四棱柱的底面是菱形,是的中点.求点到平面的距离. 2. 在四面体中,已知,且平面平面,则点到平面的距离为 . 3.如图,在单位正方体中,分别为的中点,求平面与平面之间的距离. 4.在三棱雉中,侧面底面,底面是边长为1的正三角形,是棱的中点.则异面直线与间的距离为（） A. B. C. D. 5.在棱长为1的正方体中,是线段上的点.过点的平面与直线垂直.当点在线段上运动时,平面截正方体所得截面的面积的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 空间问题 知识与方法 空间的距离有六类:点与点的距离、点与线的距离、点与面的距离、线与线的距离、线与面的距离以及面与面的距离(后三个距离分别特指在线线平行或异面、线面平行、面面平行的前提下).这六类距离概念中,点与点的距离、点与线的距离以及平行线之间的距离事实上为平面几何的问题,在此我们不再详述;而后四个概念(除平行线间的距离外)的核心是点面距离,因为其他三个距离都可以转化为点面距离的问题来求解.距离是立体几何中最重要的几何量之一,我们有必要对它进行充分的研究.本专题我们来介绍立体几何中距离问题的解决方法. 典型例题 【例1】如图,在单位正方体中,为的中点,则点到平面的距离为 . 【分析】 在本题中,我们争取展现立体几何中所有垂直关系的发现过程.从寻找线的垂线、线的垂面、面的垂面和面的垂线四个层面来体现空间垂直关系,而这些关系是环环相扣的. 【解析】解法1 如图,设分别为的中点,连结,. (1)线的垂线 因为在平面上的投影为,所以.则在平面上的投影为, 因为,所以. 点评 在平面内作平面的斜线的垂线,我们可以根据三垂线定理尽找斜线在平面内射影的垂线. (2)线的垂面 如图,设为的中点,连结.由(1)知平面,即截面为的垂面. 点评 直线的垂面可以由直线的两条相交垂线确定. (3)面的垂面 由(2)知平面为平面的垂面. 点评 平面中的任意一条直线的垂面也垂直于该平面,所以要寻找平面的垂线,只需在平面中任取一条直线,寻找该直线的垂面. (4)面的垂线 如图,设为的中点,连结. 由(3)知平面平面, 设交于点交于点,则为两垂面的交线. 作于点,则平面. 【点睛】 面的垂线往往难以找到,我们退一步,选择先去寻找面的垂面,一旦有面面垂直,则在其中一个平面内垂直于两平面交线的直线垂直于另外一个平面.利用上面的性质,我们可以作出面的垂线. (5)计算 因为,所以, 所以, 所以, 所以点到平面的距离为. 【点睛】 解法1按照直线的垂线、直线的垂面、垂面的垂面、垂面的垂线四个步骤展现了寻找点到面的垂线的过程.这是一个经典的面的垂线的作法,希望同学们能够体会掌握.为了巩固这一方法,我们在解析2中选择作直线的垂面的办法再次展现这一经典方法. 解法2如图,连结交于点,连结,易知,所以平面, 设的中点为,连结.所以平面平面. 设交于点,连结, 则平面平面. 作于点,则有平面. 因为,所以, 又因为,所以. 【点睛】 解法2是另一种思维过程,直线的垂面显而易见,所以可选择作出它的垂面,过程更加简单.由此可见,选择哪条直线来作垂面也是有讲究的,需要仔细瑑磨. 解法3(等体积法) 如图,连结,考虑四面体, 因为, 所以, 所以, 所以点到平面的距离为. 解法4(向量法) 如图,以点为原点,以为轴、DC为轴、DD点, 所以, 设为平面的法向量, 则即解得故, 故点到平面的距离为.