第3讲 立体几何中的截面问题 讲义-2023届高考数学立体几何二轮复习

第3讲 立体几何中的截面问题 知识与方法 在立体几何中,截面是指用一个平面去截一个几何体(包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱雉、长方体、正方体等)得到的平面图形.此平面与几何体表面的交线叫做截线,此平面与几何体的棱的交点叫做截点. 作截面的关键在于确定截点.通过位于多面体同一表面上的两个不同截点即可连结成截线,从而得到截面. 正方体的基本截面如下. 正方体的截面不会出现以下图形:直角三角形、针角三角形、直角梯形、正五边形. 典型例题 【例1】 在正方形中，点E，F，G，H分别在AB,BC,DD1,B1C1上，点 在平面内,点在正方体内部, (1)作过三点的截面; (2)作过三点的截面; (3)作过三点的截面; (4)作过三点的截面; (5)作过三点的截面. 【例2】如图，在三棱锥中，截面与对棱都平行,且分别与交于点,则点在何处时,截面面积最大. 【例3】 如图，在三棱锥中三条棱OA,OB,OC两两垂直，且,分别经过棱作一个截面平分三棱雉的体积,截面面积依次为,则的大小关系为 . 【例4】如图，已知正四面体的体积为V，底面积为S，O是高的中点,过点的平面与棱分别交于点.设三棱雉的体积为,截面的面积为,则（ ） A. B. C. D. 【 例5】如图 (1), 在直三棱柱 中, 若 是 的中点, 过 作这个三棱柱的截面, 当截面与平面 所成的锐二面角最小时,这个截面的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 【例6】 已知球O是正三棱锥 (底面为正三角形, 顶点在底面上的射影为底面中心) 的外接球, , 点 在线段 上, 且 , 过点 作球 的截 面, 则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【例7】 一个长方体形状的无盖容器 的容积是, 其长、宽、高分别为 , 容器内装有体积为 的水并放在水平的地面上. 现固定顶点 在地面上, 将容器倾斜, 当容器中的水刚好要从顶点 处流出时, 设水平面与 , 分别交于点 , 且 与水平地面所成的角为 . 现有下列命题: (1) ; (2) 为定值; (3)若 , 则当 时 取得最小值; (4)若 , 则当 时 取得最小值; (5) 当 时, 取得最大值. 其中的真命题是________ (写出所有真命题的编号). 强化训练 1.如图,已知正方体的棱长为为的中点,为线段上的动点,过三点的平面截该正方体所得的截面记为,则下列命题中正确的是（ ） 当时,截面为四边形; 当时,截面为等腰梯形; 当时,截面与的交点满足; 当时,截面为六边形; 当时,截面的面积为. A. B. C. D. 2.已知圆雉的母线长为,轴截面的顶角为,求过此圆雉母线的截面面积的最大值. 3.如图,在正方体中,平面垂直于对角线,且平面截正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为,周长为,则（ ） A.为定值,不为定值 B.不为定值,为定值 C.与均为定值 D.与均不为定值 4.在边长为 1 的正方体 中, 分别在 上,并且满足 . 若平面 , 平面 , 平面 交 于一点 , 则 _________,______. 5.如图, 正方体 的棱长为 分别是棱 的中 点, 过点 的平面分别与棱 交于点 . 给出以下四个命题: (1) 平面 与平面 所成角的最大值为 ; (2)四边形 的面积的最小值为 1 ; (3) 四棱锥 的体积为定值 ; (4)点 到平面 的距离的最大值为 . 其中正确命题的序号为 A. (2) (3) B. (1) (4) C. (1) (3)(4) D. (2) (3)(4) 6.已知直四棱柱 , 其底面 是平行四边形, 外接球的 体积为 . 若 , 则其外接球被平面 截得的图形面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 7.如图, 水平桌面上放置一个棱长为 4 的正方体水槽, 水面高度恰为正方体棱 长的一半, 在该正方体侧面 上有一个小孔 点到 的距离为 3 , 若该正方体 水槽绕 倾斜 ( 始终在桌面上), 则当水恰好流出时, 侧面 与桌面所成角的 正切值为 A. B. C. D. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 立体几何中的截面问题 知识与方法 在立体几何中,截面是指用一个平面去截一个几何体(包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱雉、长方体、正方体等)得到的平面图形.此平面与几何体表面的交线叫做截线,此平面与几何体的棱的交点叫做截点. 作截面的关键在于确定截点.通过位于多面体