第4讲 体积问题 讲义-2023届高考数学立体几何二轮复习

第4讲 体积问题 知识与方法 体积和表面积是立体几何中的重要度量, 也是我们高考的重要考点. 下面是简单几何体的 体积与表面积公式. 但是,事实上我们碰到的体积问题更为复杂,有时不容易求出底面积或高. 所以需要我们 用各种方法来求解体积问题. 典型例题 【例1】 如图 (1), 在长方体 中, 分别为棱 的中点, 那么四面体 的体积为________. 【例2】如图 (1), 已知正方体 的棱长为 2 , 动点 在棱 上, 动点 分别在棱 上. 若 , 则四面体 的体积 （ ） A. 与 都有关 B. 与 有关,与 无关 C. 与 有关,与 无关 D. 与 有关,与 无关 【例3】如图(1), 正三棱柱 的高为 4 , 底面边长为 是 的中点, 是线段 上的动点, 过 作截面 于点 , 则三 棱锥 体积的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 12 【例4】 如图, 在 中, 已知 平面 于点 于点 . 当 变化时, 求三棱体 体积的最大值. 【例5】 如图(1), 已知四面体 的表面积为 , 且 , 则四面体 的体积是________. 【 例6】若某个四面体仅有1 条棱长大于 2 , 则该四面体体积的最大值为 ________. 强化训练 1.如图, 在多面体 中, 已知平面四边形 是 边长为 1 的正方形, 且 均为正三角形, 2 , 则该多面体的体积为________. 2.(多选) 如图,已知正方体 的棱长为 3 , 线段 上有两 个动点 , 且 , 则当点 移动时,下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 四面体 的体积不为定值 C. 三棱尸 的体积为定值 D. 四面体 的体积为定值 3.如图, 已知正方体 的边长为 为 的中点, 为正方体表面上的动点, 且异面直线 , 则四面 体 体积的最大值为________. 4.（1）如图, 内接于圆 是圆 的直径, 四边形 为平行四边 形, 平面 . (1) 求证: 平面 ; (2) 设 表示三棱锥 的体积, 求函数 的解析式及 最大值. （2）在四棱锥 中, 底面 是边长为 2 的正方形,侧面 是 以 为斜边的等腰直角三角形. 若四棱锥 的体积的取值范围是 , 则 该四棱锥外接球的体积的取值范围是________. 5.如图,圆形纸片的圆心为 , 半径为 , 该纸片上的等边 的中心为 为圆 上的点, 分别 是以 为底边的等腰三角形. 沿虚线剪开后, 分别以 为折痕折起 , 使得 三点重合, 得到三棱锥. 当 的边 长变化时,所得三棱锥体积 (单位: ) 的最大值为________. 6.已知在半径为 2 的球面上有 四点, 若 , 则四面体 的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 体积问题 知识与方法 体积和表面积是立体几何中的重要度量, 也是我们高考的重要考点. 下面是简单几何体的 体积与表面积公式. 但是,事实上我们碰到的体积问题更为复杂,有时不容易求出底面积或高. 所以需要我们 用各种方法来求解体积问题. 典型例题 【例1】如图 (1), 在长方体 中, 分别为棱 的中点, 那么四面体 的体积为________. 【分析】作为最常规的方法,四面体的体积可以用 来进行计算. 通过计算发 现 平面 ,所以我们可以选取平面 作为底面, 作为高. 【解析】解法1： 如图(2), 取 的中点 , 连结 . 因为 为 在平面 上的投影, 而 , 所以 . 因为 为 在平面 上的投影, 而 , 所以 , 所以 平面 . 因为 , 则 , 所以 , 所以 . 【分析】 对于长方体的内接四边形来说, 割补法也是求此类四面体体积的有效方法. 解法2： 如图 (3), 作 于点 于点 , 则 其中 . 【分析】一般来说, 我们求体积时可以用同底等高的原则将四面体的体积进行转化求解, 但是以下的方法将一个四面体的体积写成两个四面体体积的平均值, 有点神来之笔的味道, 读者们也不妨参考一下. 解法3： 【点睛】多面体的体积一般是将多面体分割成多个棱锥或棱柱来进行计算. 而棱锥体积一 般用体积公式 (如解法 1 , 需要找到棱锥的高)或是割补法 (如解法 2) 进行计算. 解法3 提 供了棱锥体积计算的另一种思路, 即通过等量转化的方式简化体积计算. 【例2】如图 (1), 已知正方体 的棱长为 2 , 动点 在棱 上, 动点 分别在棱 上. 若