第7讲 判断两个平面法向量夹角或补角为二面角大小的简单方法 讲义-2023届高考数学立体几何二轮复习

第7讲 判断两个平面法向量夹角或补角为二面角大小的简单方法 知识与方法 如图 (1), 设 分别是平面 上的点, 且两点均不在平面 与 的交线 上, 分别 是平面 的法向量, 为二面角 的平面角. 若 , 则 , 若 , 则 . 证明: 如图 (2), 过点 作直线 的垂线, 垂足为 , 过点 作直线 的垂线, 垂足为 , 图 (1) 若 , 则 . 若 ,则 . 图 (2) 有了上述结论后, 利用空间向量解决二面角大小问题时, 最后判定两个法向量的夹角或其 补角为二面角时, 不需要再从两个法向量指向二面角的内部还是外部这个“形”的角度去判断 (在有些实际问题中, 判断法向量指向比较麻烦), 而可以直接从数量积是否同号这一“数” 的代 数角度去判断. 典型例题 【例1】 如图（1），在三棱柱中，，， 在底面 上的射影为 的中点, 是 的中点. (1) 证明: 平面 ; (2) 求二面角 的平面角的余弦值. 【例2】 如图 (1), 在四棱锥 中, 底面 是菱形, 平面 . (1) 求证:直线 平面 ; (2) 求二面角 的平面角的余弦值. 图 (1) 强化训练 1.如图, 在正方体 中, 为 的中点, 为 的中点. (1) 证明: 平面 ; (2) 若 , 求二面角 的平面角的余弦值. 2.如图, 在三棱台 中, 侧面 与侧面 是全等的 梯形,若 , 且 . (1) 若 , 证明: 平面 ; (2) 若二面角 的大小为 , 求二面角 的平面 角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 判断两个平面法向量夹角或补角为二面角大小的简单方法 知识与方法 如图 (1), 设 分别是平面 上的点, 且两点均不在平面 与 的交线 上, 分别 是平面 的法向量, 为二面角 的平面角. 若 , 则 , 若 , 则 . 证明: 如图 (2), 过点 作直线 的垂线, 垂足为 , 过点 作直线 的垂线, 垂足为 , 图 (1) 若 , 则 . 若 ,则 . 图 (2) 有了上述结论后, 利用空间向量解决二面角大小问题时, 最后判定两个法向量的夹角或其 补角为二面角时, 不需要再从两个法向量指向二面角的内部还是外部这个“形”的角度去判断 (在有些实际问题中, 判断法向量指向比较麻烦), 而可以直接从数量积是否同号这一“数” 的代 数角度去判断. 典型例题 【例1】 如图（1），在三棱柱中，，， 在底面 上的射影为 的中点, 是 的中点. (1) 证明: 平面 ; (2) 求二面角 的平面角的余弦值. 【分析】 用空间向量法求出两个法向量的夹角后, 若从图形上难以判断二面角 是锐角还是针角, 可以用代数的方式来判断. 图(1) 【解析】 (1) 如图 (2), 以 的中点 为坐标原点, 以 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系. 则 . 易知点 , , 则 , . 因为 , 所以 . 又因为 , 所以 . 又因为 , 所以 平面 . 图(2) (2) 设平面 的一个法向量为 , 由 得 取 , 得 . 设平面 的一个法向量为 , 由 得 取 , 得 . 所以 . 因为 , 所以二面角 的平面角的余弦值为 . 【点睛】 判断二面角是锐角还是钝角, 可以从图形上判断, 也可以借助法向量的方向来判断, 但都不如直接用代数计算的方法来判断. 【例2】 如图 (1), 在四棱锥 中, 底面 是菱形, 平面 . (1) 求证:直线 平面 ; (2) 求二面角 的平面角的余弦值. 【分析】 证明线面平行问题可以用线线平行的判定定理或面面平行的性质定理. 在 平面 的条件下, 可以考虑通过建立空间直角坐标系来求二面角 大小. 图 (1) 【解析】 (1) 如图(2), 在 上取一点 , 使 , 连结 . 因为 , 所以 , 因为四边形 为菱形, 所以 . 所以 . 图(2) 所以四边形 为平行四边形. 所以 . 又 平面 , 所以直线 平面 . (2) 取 的中点 , 连结 . 因为底面 是菱形, , 所以 . 因为 , 所以 , 即 . 又 平面 , 所以 , 故 相互垂直. 以点 为原点, 以 为 轴、DC 为 轴、DP 为 轴建立如图 (3) 所示的空间直角坐 标系, 则点 . 易知平面 的一个法向量 , 设平面 的一个法向量 . 由 得 . 所以 . 图(3) 因为 , 故二面角 的平面角的余弦值为 . 【点睛】 在通过建立空间直角坐标系, 利用法向量计算二面角大小时, 有了上述代数方法 后, 可以比较简捷快速地得出二面角大小. 强