第9讲 几何体与球 讲义-2023届高考数学立体几何二轮复习

第9讲 几何体与球 知识与方法 球作为一个特殊的多面体,与多面体的方正相比,球上点的位置更难想象与刻画.特别是球与多面体的外接与内切问题,很多同学很难想象出来,也很难画出图形,就别提进行具体量的计算了.这一专题,我们就来讨论几何体与球的外接、内切问题,让大家能够抓住外接与内切问题的关键,提升解决问题的能力. 典型例题 【例1】一直三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是边长为1的正三角形，为球的直径,且,则此三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【例2】在四面体中,已知,则四面体的外接球的半径为__________ 【例3】已知球是正方体的外接球,球是正方体的内切球,球与正方体的各条棱均相切,则三个球的表面积之比为________ 【例4】 已知正方体 的棱长为 3, 是正方体表面上一动点, 且 ,则点形成的轨迹的长度为_________ 【例5】一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是______ 【例6】把 4 个半径均为 1 的小球装人一个大球内,则此大球半径的最小值为_______ 【例7】如图, 在四面体 A B C D 中, 截面 A E F 经过四面体的内切球 (与四个面都相切的球)球心,且分别与交于点,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥与三棱锥的表面积分别是,则必有（ ） A. B. C. D.的大小关系不能确定 强化训练 1.已知空间四点满足,且是三棱锥的外接球上的一个动点,则点到平面的最大距离是_________ 2.在四面体中,,则该四面体的外接球的半径为_______ 3.已知棱长为6的正方体内有一个棱长为的正四面体,且该四面体可以在正方体内任意转动,则的最大值为______ 4.如图,在棱长为2的正方体中,点分别在棱和上运动,但始终保持.设为的中点,则点的轨迹所形成的图形的长度为_________ 5.将半径都为1的4个钢球完全装人形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为（ ） A. B. C. D. 6.(1)如图,将三个半径为的汤圆(球形)装人半径为的半球面碗中,三个汤圆的顶端恰与碗口共面,则汤圆的半径______. (2)已知三个圆柱的侧面两两相切,且它们的轴两两互相垂直.如果每个圆柱底面半径都是1,那么与这三个圆柱的侧面都相切的球的半径的最大值是______ 7.如图,在四棱锥中,底面是正方形,边长为.若在此四棱锥中放人一个球,则球的最大半径是（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 几何体与球 知识与方法 球作为一个特殊的多面体,与多面体的方正相比,球上点的位置更难想象与刻画.特别是球与多面体的外接与内切问题,很多同学很难想象出来,也很难画出图形,就别提进行具体量的计算了.这一专题,我们就来讨论几何体与球的外接、内切问题,让大家能够抓住外接与内切问题的关键,提升解决问题的能力. 典型例题 【例1】一直三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是边长为1的正三角形，为球的直径,且,则此三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【分析】球心位置已知,只需求出棱锥的高即可. 【解析】解法1：因为为球的直径,所以为的中点, 故, 所以四面体为正四面体. 而, 故要求三棱锥的体积,只需计算四面体的体积. 如图(1),设的中心为, 则正四面体的中点在底面上的投影为点, 图(1) 而,故. 所以.故选A. 【分析】此处注意到四面体为正四面体,所以可以简化求体积的方式. 解法2：如图(2),取的中点,连结. 由知, 所以平面. 图(2) 又,所以. 所以.故选A. 【点睛】本题是一个比较简单的球内接多面体的问题.这类问题首先要认识到多面体的每个顶点所在球面上的位置,建立起多面体的空间结构,才能顺利处理该多面体的各类问题. 【例2】在四面体中,已知,则四面体的外接球的半径为__________ 【分析】设的中心为,过点作垂直于底面的垂线,则上任意一点到点的距离均相等,因此四面体的外接球球心必在直线上.只需在上寻找一点,使得. 【解析】解法1：由三余弦定理可得,即. 如图(1),作点在及直线上的射影,分别为点和点,有. 图(1) 设,则有, 所以,解得,即点与点重合, 点即为四面体的外接球球心,其半径为. 【分析】如图(2),设底面的中心为,延长交的外接圆于点.由四面体的对称性可知,球心在平面上.又点均在球上,故的外接圆即为四面体外接球的大圆. 解法2：因为为正三角形,故其外接圆半径为,即. 图(2) 由三余弦定理知. 又,故, 所以即为的外心,也即四面体的外接球球心. 【点睛】求四面体的外接球球心如同三角形外接圆一样,是外接球问题的最根本所在.解决这