第10讲 空间直角坐标系的建立 讲义-2023届高考数学立体几何二轮复习

第10讲 空间直角坐标系的建立 知识与方法 向量法应用于立体几何问题,使一部分的几何问题得以用代数的方法解决,将复杂的空间问题变成了简单的代数计算,是我们解决立体几何问题的一种有效的通法.这也使得向量法成了高考的重点考查对象.但并不是所有的立体几何问题都能用向量法轻易解决,一些不好的建系方式不仅使计算极度繁琐,而且难以给出点的坐标.这一专题中,我们来看看如何利用条件,建立合适的空间直角坐标系,并高效地给出点的坐标. 典型例题 【例1】如图(1),已知四棱锥的底面为正方形,底面.设平面与平面的交线为. (1)证明:平面; (2)已知为上一点,求与平面所成角的正弦值的最大值. 图(1) 【例2】如图(1),在四棱锥中,底面是正方形,若. (1)证明:平面平面; (2)求二面角的平面角的余弦值. 图(1) 【例3】如图(1),在四棱锥中,底面为直角梯形,,.在锐角中,是边上一点,且. (1)求证:平面; 图(1) （2）当的长为何值时,与平面所成的角为 【例4】 如图(1), 在四棱锥 中, 底面 是直角梯形, ,平面平面,平面平面.若,求与平面所成角的正弦值. 图(1) 【例5】 如图 (1), 在四边形 中, 为线段 上的一点.现将沿线段翻折到(点与点重合),使得平面平面,连结. (1)证明平面; (2)若,且为线段的中点,求二面角的平面角的余弦值 图(1). 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 空间直角坐标系的建立 知识与方法 向量法应用于立体几何问题,使一部分的几何问题得以用代数的方法解决,将复杂的空间问题变成了简单的代数计算,是我们解决立体几何问题的一种有效的通法.这也使得向量法成了高考的重点考查对象.但并不是所有的立体几何问题都能用向量法轻易解决,一些不好的建系方式不仅使计算极度繁琐,而且难以给出点的坐标.这一专题中,我们来看看如何利用条件,建立合适的空间直角坐标系,并高效地给出点的坐标. 典型例题 【例1】如图(1),已知四棱锥的底面为正方形,底面.设平面与平面的交线为. (1)证明:平面; (2)已知为上一点,求与平面所成角的正弦值的最大值. 图(1) 【分析】本题中四棱锥的底面为正方形,且有一条垂直于底面的直线,可以以此建立空间直角坐标系.另外,由于本题为一动态最值问题,向量法也是解决这类问题的普遍方法之一. 【解析】(1)过点在平面内作直线. 由可得,即为平面和平面的交线. 因为平面,所以. 又因为四边形为正方形,所以. 所以平面.而, 所以平面. 图(2) (2)如图(2),以点为坐标原点,以所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系, 则点. 设点,则. 设平面的一个法向量为, 则所以 取,可得. 所以, 所以与平面所成角的正弦值为 ,当且仅当取到等号, 所以与平面所成角的正弦值的最大值为. 【点睛】向量法是解立体几何题的重要方法,在高考中占有非常重要的地位.特别对于存在三条两两垂直的直线的立方体,建系不是一件难事,此时用向量法解决立体几何问题就显得特别简单. 【例2】如图(1),在四棱锥中,底面是正方形,若. (1)证明:平面平面; (2)求二面角的平面角的余弦值. 【分析】本题没有三个两两垂直的棱,但是第一问为我们铺平了道路,一旦 图(1) 证明了平面平面,那么垂直于底面的直线也就自然而然地出现了. 【解析】(1)取的中点为,连结. 因为,则, 而,故. 在正方形中,因为,故,故. 因为,故, 故为直角三角形,且. 因为,故平面. 因为平面,故平面平面. (2)在平面内,过点作,交于点,则. 结合(1)中的平面,故以点为坐标原点,以为轴、为轴、为轴建立如图(2)所示的空间直角坐标系, 则点. 故. 设平面的一个法向量, 则即 取,则,故. 而平面的一个法向量为, 图(2) 故. 因为二面角的平面角为锐角,故其余弦值为. 【点睛】并不是所有的立体几何问题中的垂直关系都是明确给出的.在一些立体几何问题中,垂直关系隐藏在某些条件的背后,需要我们努力挖掘并加以利用.在明确了垂直关系和空间各点的位置后，向量法也就“水到渠成”了. 【例3】如图(1),在四棱锥中,底面为直角梯形,,.在锐角中,是边上一点,且. (1)求证:平面; 图(1) （2）当的长为何值时,与平面所成的角为 【分析】本题第二问出现了几何体内点的位置不明确的情况,此时我们不妨根据条件大胆设点,带着变量运算,通过一些方程或方程组求解不明确的点的坐标. (1)【解析】连结交于点,连结. 因为,所以, 所以. 又因为平面平面, 所以平面. (2)解法1：因为,所以平面, 所以平面平面. 图(2) 以点为坐标原点,以为轴、为轴建立如图(2)所示的空间直角坐标系,则点. 不妨设点, 则.设是平面的一个法向量, 则 可取,而， 由题意得. 又,