第2讲 圆锥曲线的定义与性质 讲义-2023届高考数学解析几何二轮复习

-*第2讲 圆锥曲线的定义与性质 知识与方法 回归定义是数学的思维方式. 对于“一动点两定点”“动点一定直线”的几何结构,需结合椭圆、双曲线、抛物线的定义分析求解;对于过一个焦点的弦长问题,常运用定义转化到另一个焦点弦长,这也是椭圆或双曲线对称性在解题中的体现. 1.椭圆第一定义:平面内与两定点的距离之和为常数的点的轨迹. 双曲线第一定义:平面内与两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹. 2.圆雉曲线的第二定义:平面内到定点的距离和到定直线的距离之比为常数的点的轨迹.若,则点的轨迹是椭圆;若,则点的轨迹是双曲线;若,则点的轨迹是抛物线. 3.椭圆的第三定义:对于给定的常数,若平面上的动点到两定点的斜率之积为,则动点的轨迹为椭圆. 双曲线第三定义:对于给定的常数,若平面上的动点到两定点的斜率之积为,则动点的轨迹为双曲线. 4.圆锥曲线的性质:重点关注曲线的离心率、对称性及范围. 典型例题 【例1】已知的底边和两边上中线长之和为30,求此三角形重心的轨迹方程. 【例2】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上,满足,则椭圆的离心率的取值范围是________. 【例3】已知椭圆的右焦点是椭圆上的一点,点,则周长的最大值为（ ） A.10 B.12 C.14 D.15 【例4】设分别是椭圆的左、右焦点，是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点,延长与椭圆交于点.若,则直线的斜率为（ ） A. B. C. D.1 【例5】已知椭圆的两焦点和双曲线的两焦点重合，为椭圆和双曲线的一个交点，且,椭圆和双曲线的离心率分别为,则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【例6】已知是双曲线的左、右焦点,若点关于直线的对称点也在双曲线上,则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D.2 【例7】过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于，与准线在第三象限交于点,过点作准线的垂线,垂足为.若,则（ ） A. B. C. D.2 【例8】已知为椭圆上的动点，点是椭圆上的动点,则的最大值为（ ） A. B. C.3 D. 【例9】已知椭圆的左右交点分别为，点 在椭圆上,其中.若,则椭圆的离心率的取值范围为________. 【例10】 已知 是 的定直径, 过 上的动点 作切线与过点 的切线分别交于 点 , 连结 交于点 , 则点 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.抛物线的一段 D.线段 【例11】已知椭圆 的左、右焦点为 , 上顶点为 为第一象限内椭圆上一点,,则直线的斜率为 。 强化训练 1.设圆的圆心为点,直线过点且与轴不重合,交圆于两点.过点作的平行线交于点.证明为定值,并写出点的轨迹方程. 2.设椭圆的一个焦点为,点为椭圆内一点.若椭圆上存在一点,使得,则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.设椭圆的左焦点为,直线,动点在椭圆上,记点到直线的距离为,则的最大值是________. 4.已知椭圆的左焦点为在椭圆上且在轴的上方.若线段的中点在以原点为圆心,为半径的圆上,则直线的斜率是________. 5.已知椭圆与双曲线有相同的焦点是两曲线的一个公共点,且.若椭圆离心率,则双曲线的离心率（ ） A. B. C.2 D.3 6.已知椭圆的右焦点关于直线的对称点仍在椭圆上,则此椭圆的离心率是________. 7.如图,已知是抛物线的焦点,是抛物线上不同的两点,满足,且,则直线的斜率为________. 8.已知圆和焦点为的抛物线是圆上一点,是抛物线上一点.点在时,取得最小值,点在时,取得最大值,则（ ） A. B. C. D. 9.已知为双曲线的右焦点,直线,与双曲线交于两点.若,则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 10.椭圆的右焦点为,右准线为为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点,其中是椭圆的右顶点,且,则这24个点到的距离的倒数和为（ ） A. B. C. D.12 11.已知分别是椭圆的左、右焦点,是椭圆上位于轴上方的两点,且,则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 圆锥曲线的定义与性质 知识与方法 回归定义是数学的思维方式. 对于“一动点两定点”“动点一定直线”的几何结构,需结合椭圆、双曲线、抛物线的定义分析求解;对于过一个焦点的