第3讲 中心弦与中点弦 讲义-2023届高考数学解析几何二轮复习

第3讲 中心弦与中点弦 知识与方法 圆锥曲线的中心弦、中点弦是圆锥曲线的重要内容,因其性质丰富,处理方式独特、灵活,是高考命题的重要素材.中点弦问题,常运用点差法、韦达定理来构建中点坐标与斜率之间的代数关系,在等腰三角形、平行四边形、对称问题、两个向量的加法中都隐含了中点弦问题. 1.中心弦 (1)椭圆上任一条经过原点的弦的两个端点与椭圆上任一点(除这两个顶点)连线的斜率之积是定值. (2)双曲线上任一条经过原点的弦的两个端点与双曲线上任一点(除这两个端点)连线的斜率之积是定值. 2.中点弦 (1)中点弦设直线与椭圆交于两点,弦的中点为,则. (2)中点弦设直线与双曲线交于两点,弦的中点为,则. (3)设抛物线的弦,记点,弦的中点,,则, 3.圆、椭圆、双曲线的切线性质 如图,已知直线是各曲线在点处的切线,若将圆看作离心率的特殊的椭圆,则有. 下面仅给出椭圆的中心弦、中点弦的性质推导. 命题1试证椭圆上任一条经过原点的弦的两个端点与椭圆上任一点(除这两个顶点)连线的斜率之积为定值. 证明设点.点. 所以直线的斜率, 所以, 所以, 所以,. 命题2已知直线与椭圆交于两点,弦的中点为.试证明. 证明设点,线段的中点,则 , 所以, .则. 典型例题 【例1】 已知 是椭圆 长轴的两个端点, 是椭圆上关于 轴对称的两点,直线的斜率分别为.若椭圆的离心率为,则的最小值为（ ） A.1 B. C. D. 【例2】 若 是椭圆 的右顶点, 直线 分别与直线 相交于 , 则的最小值为（ ） 【例3】已知椭圆是椭圆的上顶点,过点作斜率为的直线交椭圆于另一点,设点关于原点的对称点为.设线段的中垂线与轴交于点,若点在椭圆内部,则斜率的取值范围为（ ） 【例4】已知椭圆内有一定点,过点的两条直线分别与椭圆交于点和点,且满足.若变化时,直线的斜率总为,则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【例5】 已知 是椭圆 的左、右顶点, 是椭圆 上异于点 的一点,是平面上一动点.当点在以为直径的圆上时,则的最大值是（ ） 【例6】已知椭圆的左焦点为,过点作直线与椭圆交于,两点,是椭圆上一点.若存在和点使四边形为平行四边形,则椭圆的离心率的取值范围为（ ） 【例7】如图,已知椭圆为坐标原点,为椭圆的右顶点,点在椭圆上,且四边形是正方形. (1)求椭圆的方程; (2)斜率为的直线与椭圆相交于两点,且线段的中点恰在线段上,求的取值范围. 【例8】 已知点 , 动点 满足直线 与 的斜率之积为 .记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程; (2)过坐标原点的直线交曲线于两点,点在第一象限,轴,垂足为,连结并延长交曲线于点.求面积的最大值. 【例9】 已知 与 , 以 分别为左、右焦点的椭圆经过两圆的交点. (1)求椭圆的方程; (2)分别为椭圆的左、右顶点,是椭圆上非顶点的三点,若,试问的面积是否为定值?若是,求出这个定值,若不是,请说明理由. 【例10】已知椭圆,抛物线是椭圆与抛物线的交点,过点的直线交椭圆于点,交抛物线于点(点不同于点). (1)若,求抛物线的焦点坐标; (2)若存在不过原点的直线使得为的中点,求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 中心弦与中点弦 知识与方法 圆锥曲线的中心弦、中点弦是圆锥曲线的重要内容,因其性质丰富,处理方式独特、灵活,是高考命题的重要素材.中点弦问题,常运用点差法、韦达定理来构建中点坐标与斜率之间的代数关系,在等腰三角形、平行四边形、对称问题、两个向量的加法中都隐含了中点弦问题. 1.中心弦 (1)椭圆上任一条经过原点的弦的两个端点与椭圆上任一点(除这两个顶点)连线的斜率之积是定值. (2)双曲线上任一条经过原点的弦的两个端点与双曲线上任一点(除这两个端点)连线的斜率之积是定值. 2.中点弦 (1)中点弦设直线与椭圆交于两点,弦的中点为,则. (2)中点弦设直线与双曲线交于两点,弦的中点为,则. (3)设抛物线的弦,记点,弦的中点,,则, 3.圆、椭圆、双曲线的切线性质 如图,已知直线是各曲线在点处的切线,若将圆看作离心率的特殊的椭圆,则有. 下面仅给出椭圆的中心弦、中点弦的性质推导. 命题1试证椭圆上任一条经过原点的弦的两个端点与椭圆上任一点(除这两个顶点)连线的斜率之积为定值. 证明设点.点. 所以直线的斜率, 所以, 所以, 所以,. 命题2已知直线与椭圆交于两点,弦的中点为.试证明. 证明设点,线段的中点,则 , 所以, .则. 典型例题 【例1】 已知 是椭圆 长轴的两个端点, 是椭圆上关于 轴对称的两点,直线的斜率