第4讲 点差与定比点差 讲义-2023届高考数学解析几何二轮复习

第4讲 点差与定比点差 知识与方法 直线与圆雉曲线相交时,中点(定比分点)问题通常运用韦达定理和点差法两种方式.点差法(定比点差)是从设点的视角,将点的坐标代人曲线方程,通过系数调配后进行两式作差. 一般地,设椭圆上两点,若定点满足,则得到, 化简得 由得 两式相减得. 把代人,得,化简得. 特别地,如果(或),则可以得到方程组继而能相对快捷地求出交点坐标,避免暴求交点.椭圆、双曲线中的多点共线的倍值问题,也可类似解决,其实质就是一种降维处理.此外,当时,则是的中点即转化为中点弦问题. 典型例题 【例1】已知椭圆上不同的两点，关于直线直线对称.求实数的取值范围. 【例2】 直线与椭圆交于两点，与轴、轴分别交于点.如果 是线段的两个三等分点，则直线的斜率为 ． 【例3】 设分别为椭圆的左右两个焦点，点在椭圆上. 若，则点的坐标是 ． 【例4】 已知点，椭圆上两点满足，则 当 时，点横坐标的绝对值最大. 【例5】 已知椭圆和点.若存在过点的直线交椭圆于两点，满足，则椭圆的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【例6】 已知过点的直线与椭圆交于两点，且， 则弦长的取值范围是 ． 【例7】 过点的直线与椭圆交于两点，且，点满足 .若为坐标原点，则的最小值为 ． 【例8】 已知椭圆分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点.当为椭圆的上顶点 时，. (1) 求椭圆的离心率； (2) 求的最大值. 强化训练 1.已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为 . 证明. 2.已知是双曲线的左焦点，点的坐标为 ，直线与双曲线的两条渐进线分别交于点.若，则双曲线 的离心率为 ． 3. 如图，点是椭圆的点（在第一象限)，且直线的斜率互为相反数.设，则直线的斜率为 ． 4. 已知椭圆.过点的直线与椭圆相交于两点 （两点可以重合），则的取值范围是 ． 5.已知椭圆.过点且不过点的直线与椭圆交 于两点，直线与直线交于点.试判断直线与直线的位置关系，并说明理由. 6.已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与抛物线交于两点，与轴的交点为. (1) 若，求直线的方程； (2)若，求的值. 7. 已知椭圆.过点的动直线与椭圆相交于两个不同 的点时，在线段上取点，满足.证明:点总在某定直线上. 8.如图，椭圆.过点作直线分别交椭圆于， 四点，且直线的斜率为.试判断直线与直线的位置关系. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 点差与定比点差 知识与方法 直线与圆雉曲线相交时,中点(定比分点)问题通常运用韦达定理和点差法两种方式.点差法(定比点差)是从设点的视角,将点的坐标代人曲线方程,通过系数调配后进行两式作差. 一般地,设椭圆上两点,若定点满足,则得到, 化简得 由得 两式相减得. 把代人,得,化简得. 特别地,如果(或),则可以得到方程组继而能相对快捷地求出交点坐标,避免暴求交点.椭圆、双曲线中的多点共线的倍值问题,也可类似解决,其实质就是一种降维处理.此外,当时,则是的中点即转化为中点弦问题. 典型例题 【例1】已知椭圆上不同的两点，关于直线直线对称.求实数的取值范围. 【分析】 点与点关于直线对称， 说明直线与椭圆有两个交点，且中点在对称轴 上，即可得实数的不等式； 也可考虑运用点差法得到中点坐标，则中点必在椭圆的内部，可得实数的取值范围. 【解析】解法 1 (1) 设直线. 由. 因为直线与椭圆有两个不同的交点， 所以 ① 将中点代入直线方程 ， 解得 ② 由①②两式得或. 解法 2 设点， 中点 . 由点差法得. 且 ，于是得 . 又中点在椭圆的内部，所以. 所以或. 【点睛】 对称问题的本质是中点弦问题， 韦达法、点差法是处理中点问题的常用方法. 【例2】 直线与椭圆交于两点，与轴、轴分别交于点.如果 是线段的两个三等分点，则直线的斜率为 ． 【分析】 已知是线段的两个三等分点，可以尝试下面两种转化方式:一是线段 的中点与的中点重合构建斜率方程；二是用点差法求出两点的坐标. 【解析】解法 1 设点. 由得 ； 由 得 . 所以 . (*)由 两式相减得 . 把(*)代入，知，故，所以点， 所以 . 解法 2 设点，直线，则点. 由 . . 于是得 ，所以. 【点睛】 本题是典型的“一线多点”等分点问题，运用分线段的中点重合是常用方法；通过 向量相等转译坐标关系，进而由点差法求解点的坐标，令人耳目一新，十分巧妙!