第5讲 定值问题 讲义-2023届高考数学解析几何二轮复习

第5讲 定值问题 知识与方法 1. 定值问题是指某些几何量（直线斜率、角的度数、线段长度、图形面积等）的大小或某些代数表达式的值等与题设条件的参变量无关，始终是一个确定的数值. 2.定值问题类型： 斜率之和、差、积、商有关的定值问题：与距离（弦长、弦长乘积）或线段比值有关的定值问题；面积定值问题、数量积定值问题等. 3.定值问题的处理策略： ①从特殊人手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，得到定值. 典型例题 【例1】已知直线，动点在椭圆上，作 且与直线交于点，作且与直线交于点.若为定值， 则 （ ） A. B. C. D. 【例2】 如图，椭圆经过点，且离心率为. (1) 求椭圆的方程； (2) 若经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点(均异于点)，证 明:直线与的斜率之和为定值. 【例3】已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合， 且直线与圆相切. (1) 求椭圆的方程； (2) 设斜率为且不过原点的直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，直线 的斜率分别为.若成等比数列，推断是否为定值? 若是，求出此定值；若不是，说明理由. 【例4】已知椭圆:过点,且 (1) 求椭圆的方程； (2) 过点的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于点 ，求的值. 【例5】 在直角坐标系中，动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是，设动点的轨迹为. (1) 求轨迹的方程； (2) 设过点的直线交轨迹的弦为，过原点的直线交轨迹的弦为， 若，求证:为定值. 【例6】在平面直角坐标系中，动点到直线的距离是到点的距离的倍. (1)求动点的轨迹的方程; (2)若为直线上一动点,过点作曲线的切线,切点为,线段的中点为.问:是否存在定点,满足?若存在,求出定点的坐标;若不存在,请说明理由. 【例7】已知椭圆的右焦点到直线的距离为5,且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为. (1)求椭圆的方程; (2)问:在轴上是否存在一点,使过点的直线与椭圆交于两点,且满足为定值?若存在,请求出定值,并求出点的坐标,若不存在,请说明理由. 【例8】已知椭圆,点都在椭圆上,为坐标原点,为的中点,且. (1)若点的坐标为,求直线的方程; (2)求证:面积为定值. 【例9】如图，设抛物线方程，为直线 上任意一点,过点引抛物线的切线,切点分别为. (1)求直线与轴的交点坐标; (2)若为抛物线弧上的动点,抛物线在点处的切线分别与 的边交于点,记.问:是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 【例10】如图,曲线是以原点为中心、为焦点的椭圆的一部分,曲线是以为顶点、为焦点的抛物线的一部分,是曲线和的交点且为钝角.若 (1)求曲线和的方程; (2)过作一条与轴不垂直的直线,分别与曲线依次交于,四点,若为的中点,为的中点.问:是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 定值问题 知识与方法 1. 定值问题是指某些几何量（直线斜率、角的度数、线段长度、图形面积等）的大小或某些代数表达式的值等与题设条件的参变量无关，始终是一个确定的数值. 2.定值问题类型： 斜率之和、差、积、商有关的定值问题：与距离（弦长、弦长乘积）或线段比值有关的定值问题；面积定值问题、数量积定值问题等. 3.定值问题的处理策略： ①从特殊人手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，得到定值. 典型例题 【例1】已知直线，动点在椭圆上，作 且与直线交于点，作且与直线交于点.若为定值， 则 （ ） A. B. C. D. 【分析】 由于四边形是平行四边形，所以， 于是设点，则将点代入椭圆方程即可. 【解析】解法 1 设点，则点. 根据题意，为定值， 则为定值. 另一方面，，即， 从而可得 . 解法 2 作仿射变换则椭圆变为，直线与 分别对应， 则对应矩形，故，故曲线为圆，所以， 所以. 【点睛】 从设点的视角得出为定值，是解本题的关键；从仿射变换的视角，将椭圆转化为圆，则(为仿射圆的半径)，更易发现问题的本质，为此本题可作一般性推广: 已知为椭圆上一点，点分别在直线与 上，为坐标原点，四边形.若四边长的平方和为定值，则椭圆的离 心率为. 分析:作仿射变换则椭圆变为，直线与分别对应，则对应矩形，故，故曲线 为圆，所以.于是令，所以离心率为. 【例2】 如图，椭圆经过点，且离心率为. (1) 求椭圆的方程； (2) 若经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点(均异于点)，证 明:直线与的斜率之和为定值. 【分析】 将