第9讲 巧用同构 讲义-2023届高考数学解析几何二轮复习

第9讲 巧用同构 知识与方法 1.同构式指的是除了变量不同,其余均相同的代数式. 如果实数满足是方程的两个根. 在解析几何中,变量常以点的坐标或斜率作为同构变量,便于构建坐标或斜率之间的关系,其几何形式是“一点双线”同构模型,“双线”往往是“双切线”或“双割线”,最典型的结构图是“阿基米德三角形”. 2.圆锥曲线的切点弦 (1)定义:从圆锥曲线外一点向圆锥曲线引两条切线,那么经过两切点的圆锥曲线的弦叫做切点弦. (2)切点弦方程: (1)设为圆外一点,则切点弦方程为; (2)设为椭圆外一点,则切点弦方程为; (3)设为双曲线外一点,则切点弦方程为; (4)设为抛物线外一点,则切点弦方程为. 典型例题 【例1】如图,已知抛物线,直线过点与抛物线交于第一象限内两点,设的斜率分别为. (1)求的取值范围; (2)若直线恰好与圆相切,求的值. 【例2】双曲线与椭圆有相同的焦点,直线为的一条渐近线. (1)求双曲线的方程; (2)过点的直线交双曲线于两点,交轴于点(点与双曲线的顶点不重合).当,且时,求点的坐标. 【例3】已知抛物线和，过抛物线上的一点,作的两条切线,与轴分别相交于两点. (1)若切线过抛物线的焦点,求直线的斜率; (2)求面积的最小值. 【例4】已知点在抛物线上,是直线 上的两个不同的点,且线段的中点都在抛物线上. (1)求的取值范围; (2)若的面积等于,求的值. 【例5】已知点和抛物线，动圆 （1）若是圆上任意一点,且恒成立,求实数的取值范围; (2)如图,过点作圆的切线分别交抛物线于点,若直线恰与圆相切,求实数的值. 【例6】如图，已知抛物线，是圆上任意一点，过点作两直线,分别交抛物线于点,使得. (1)当为的中点时,证明:轴; (2)求面积的取值范围. 【例7】如图，是抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于两点，抛物线在两点处的切线相交于点. (1)求证:点在抛物线的准线上; (2)过抛物线上的点作拋物线的切线,分别交直线于点,,求面积的最小值. 【例8】如图,已知点是轴左侧(不含轴)一点,抛物线上存在不同的两点满足的中点均在抛物线上. （1）设的中点为,证明垂直于轴; (2)若是半椭圆上的动点,求面积的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 巧用同构 知识与方法 1.同构式指的是除了变量不同,其余均相同的代数式. 如果实数满足是方程的两个根. 在解析几何中,变量常以点的坐标或斜率作为同构变量,便于构建坐标或斜率之间的关系,其几何形式是“一点双线”同构模型,“双线”往往是“双切线”或“双割线”,最典型的结构图是“阿基米德三角形”. 2.圆锥曲线的切点弦 (1)定义:从圆锥曲线外一点向圆锥曲线引两条切线,那么经过两切点的圆锥曲线的弦叫做切点弦. (2)切点弦方程: (1)设为圆外一点,则切点弦方程为; (2)设为椭圆外一点,则切点弦方程为; (3)设为双曲线外一点,则切点弦方程为; (4)设为抛物线外一点,则切点弦方程为. 典型例题 【例1】如图,已知抛物线,直线过点与抛物线交于第一象限内两点,设的斜率分别为. (1)求的取值范围; (2)若直线恰好与圆相切,求的值. 【分析】(1)直线过定点,则可得点的横、纵坐标的乘积为定值,考虑将用的坐标来表示.(2)是“一点双线”的同构模型,可由切线性质得以斜率为主元的同构方程. 【解析】(1)设,代人, 得,得. 设点,则. , 所以的取值范围是. (2)由(1)知,设过原点且与圆相切的直线为, 则,整理得. ,得,所以. 【点睛】本题主要涉及直线与抛物线的位置关系,直线与圆相切的性质运用.在解决抛物线上两点连线的斜率时,用点的坐标差构建斜率是重要方法;对于双切线的同构模型,以斜率为同构变量是本题处理的自然方式. 【例2】双曲线与椭圆有相同的焦点,直线为的一条渐近线. (1)求双曲线的方程; (2)过点的直线交双曲线于两点,交轴于点(点与双曲线的顶点不重合).当,且时,求点的坐标. 【分析】【例】的核心条件是,变量的“地位”是平等的,于是考虑将其坐标化,寻求变量的同构方程.此外,从设线的视角,尝试以直线的斜率为主变元表示及点的坐标. 【解析】(1)设双曲线方程为. 由题意得,所以. 双曲线的方程为. (2)由题意知直线的斜率存在且不为零. 设直线的方程为,则可求点. 设点.因为,所以所以 因为点在双曲线上,所以. 所以. 同理可得. 若,则过双曲线的顶点,不合题意, 所以, 所以是一元二次方程的两个根, 因为,验知,所以. 所以点的坐标是. 【点睛】“设直联曲”是解决本题的基本方法.从几何形式看,同构形态不明显;从代数视角看,才可以发现以为同构变量. 【例3】已知抛物线和，过抛物线上的一点,作的两条切线,与轴分别相交于两点. (1)若切线过抛物线的焦点,求直