第10讲 设点与设线 讲义-2023届高考数学解析几何二轮复习

第10讲 设点与设线 知识与方法 处理解析几何问题时,有个重要遇阻因素是如何表示直线方程,是直接采用斜率作参量还是用点的坐标作参量,即是设点还是设线.“设线”时至多有两个变量,当所设直线能够方便地表示“问题目标元”,达到“一线贯通”时,应考虑设线;若选用设点,要确认“问题目标元”能否用点参表示,达到“点点通”.特别是当直线无法方便地将“问题目标元”与之联系起来时,“设点”往往是优选方案.但从思维习惯来讲,“设线”是我们采取的常规手段,是通法. 抛物线背景下,用“设点”表示直线显得较为简练. 1.抛物线中的直线的两点式方程:过执物线上两点的直线方程,常运用设点法表示,记点,于是直线的方程:,即. 若设点,则直线的方程:. 若将抛物线方程改为,则直线的方程:. 2.抛物线中的过定点弦性质: (1)直线与抛物线相交于两点,与轴交于点,则. (2)直线与抛物线相交于两点,与轴交于点,则. 典型例题 【例1】已知是抛物线上一点,直线与抛物线交于两点,使得,则原点到直线的距离的最大值为_______. 【例2】如图,点在抛物线上,抛物线的焦点在上,与轴交于点,则（ ） A. B.4 C. D.3 【例3】设动点在椭圆上，点在直线，则的最小值是（ ） A. B. C. D.2 【例4】如图，设抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于 (1)求的值; (2)若直线交抛物线于另一点,过点与轴平行的直线和过点与垂直的直线交于点与轴交于点.求点的横坐标的取值范围。 【例5】已知椭圆的焦点之间的距离为，过点且垂直于轴的直线交椭圆于两点,且. (1)求椭圆的方程; (2)若存在实数,使得经过相异两点和的直线交椭圆所得弦的中点恰为点,求实数的取值范围. 【例6】如图，已知点，，抛物线的焦点为线段的中点. (1)求抛物线的方程; (2)过点的直线交拋物线于两点,,过点作抛物线的切线为切线上的点,且轴,求面积的最小值. 【例7】如图,过抛物线的焦点作互相垂直的直线交抛物线于两点(点在轴上方),交抛物线于两点,交其准线于点. （1）设的中点为,求证:垂直于轴; (2)若直线与轴交于点,求面积的最小值. 【例8】已知椭圆和抛物线,为第一象限内抛物线上的动点,过点作抛物线的切线分别交轴、轴于点为抛物线的焦点. (1)求证:平分; (2)若直线与椭圆相切于点,求面积的最小值及此时的值. 【例9】如图,已知抛物线,过点作两条直线分别交抛物线于点和点(其中点位于轴上方),直线交于点. (1)求证:点在定直线上; (2)若分别为的中点,求出直线的方程. 【例10】如图,已知是抛物线的焦点,是拐物线的准线与轴的交点,且. (1)求抛物线的方程; (2)设过点的直线交抛物线于两点,若斜率为2的直线与直线轴依次交于点,且满足,求直线在轴上截距的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 设点与设线 知识与方法 处理解析几何问题时,有个重要遇阻因素是如何表示直线方程,是直接采用斜率作参量还是用点的坐标作参量,即是设点还是设线.“设线”时至多有两个变量,当所设直线能够方便地表示“问题目标元”,达到“一线贯通”时,应考虑设线;若选用设点,要确认“问题目标元”能否用点参表示,达到“点点通”.特别是当直线无法方便地将“问题目标元”与之联系起来时,“设点”往往是优选方案.但从思维习惯来讲,“设线”是我们采取的常规手段,是通法. 抛物线背景下,用“设点”表示直线显得较为简练. 1.抛物线中的直线的两点式方程:过执物线上两点的直线方程,常运用设点法表示,记点,于是直线的方程:,即. 若设点,则直线的方程:. 若将抛物线方程改为,则直线的方程:. 2.抛物线中的过定点弦性质: (1)直线与抛物线相交于两点,与轴交于点,则. (2)直线与抛物线相交于两点,与轴交于点,则. 典型例题 【例1】已知是抛物线上一点,直线与抛物线交于两点,使得,则原点到直线的距离的最大值为_______. 【分析】由得.从设点的视角,设点,可得的方程,进而用表示直线的方程,求距离的最大值.从设线的视角,可引入直线的方程为,由可得变量的表达式,进而求出距离的最大值. 【解析】解法1：(设点)设点, 则. 又,且 则, 可得直线恒过定点, 当,原点到直线的距离取得最大值,且. 解法2：(设线)设直线的方程为,代人抛物线,可得. 设点,即有. 由可得,即为, 化为,即为,即, 则直线的方程为,即,可得直线恒过定点,当,原点到直线的距离取得最大值,且. 【点睛】本题的