第11讲 合理转化 讲义-2023届高考数学解析几何二轮复习

第11讲 合理转化 知识与方法 转化是一种重要的数学思想,可以把陌生的问题转化成熟悉的问题,把抽象的问题转化为具体的问题.在解析几何问题中,通过观察、分析、联想、类比等思维过程,将几何结构、几何关系合理转化,并予以代数化表示,是破题的关键,主要有以下类型. 1、垂直关系:常转化为斜率乘积等于、数量积为零、向量投影、点到直线的距离及构造圆等转化方式. 2、线性关系:主要向量之间的线性关系,转化为坐标的关系,常体现“一线多点”的结构模型. 3、函数与方程:在解析几何中存在性问题,常将几何关系转化为代数关系,从函数与方程的视角进行相互转化. 典型例题 【例1】设双曲线的右焦点为,双曲线的一条渐近线为,以点为圆心的圆与相交于两点,为坐标原点,(,则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【例2】已知是双曲线的左、右焦点,为直线上的动点,则的最大值是________. 【例3】已知抛物线，为抛物线上一动点，过点作圆已知椭圆的切线,切点分别为,则线段的长度的取值范围为_______. 【例4】设是椭圆的上顶点,若椭圆上任意一点都满足,则椭圆的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 【例5】已知椭圆的离心率为,点和点都在椭圆上,直线交轴于点. (1)求椭圆的方程,并求点的坐标(用表示); (2)设为原点,点与点关于轴对称,直线交轴于点,问:轴上是否存在点,使得若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由. 【例6】如图,过抛物线上一点(点不与原点重合)作抛物线的切线交轴于点是抛物线上异于点的点.设点为的重心(三条中线的交点),在抛物线上,直线交轴于点. (1)设点,求直线的方程; (2)求的值. 【例7】已知曲线是到点的距离与到直线的距离相等的点的轨迹.是过点的直线,是曲线上(不在上)的动点;在上,轴(如图). (1)求曲线的方程; (2)求出直线的方程,使得为常数. 【例8】已知为椭圆上的两点,满足,其中分别为椭圆的左、右焦点. (1)求的最小值; (2)若,设直线的斜率为,求的值. 【例9】如图,已知抛物线,点,抛物线上的点 ,过点作直线的垂线,垂足为. (1)求直线斜率的取值范围; (2)求的最大值. 【例10】已知直线上有一动点,过点作直线轴,动点在上且满足(为坐标原点),记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程; (2)已知定点为曲线上一点,直线交曲线于另一点,且点在线段上,直线交曲线于另一点,求的内切圆半径的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 合理转化 知识与方法 转化是一种重要的数学思想,可以把陌生的问题转化成熟悉的问题,把抽象的问题转化为具体的问题.在解析几何问题中,通过观察、分析、联想、类比等思维过程,将几何结构、几何关系合理转化,并予以代数化表示,是破题的关键,主要有以下类型. 1、垂直关系:常转化为斜率乘积等于、数量积为零、向量投影、点到直线的距离及构造圆等转化方式. 2、线性关系:主要向量之间的线性关系,转化为坐标的关系,常体现“一线多点”的结构模型. 3、函数与方程:在解析几何中存在性问题,常将几何关系转化为代数关系,从函数与方程的视角进行相互转化. 典型例题 【例1】设双曲线的右焦点为,双曲线的一条渐近线为,以点为圆心的圆与相交于两点,为坐标原点,(,则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【分析】由于双曲线的离心率,所以考虑将表示为的函数,于是结合平面几何性质得(是弦的中点). 【解析】如图,作于点,则. 因为,所以.在Rt中,,所以. , 【点睛】 本题主要考查双曲线的几何性质,将渐近线的斜率表示为的函数,在直角三角形中实现数量关系的合理转化. 【例2】已知是双曲线的左、右焦点,为直线上的动点,则的最大值是________. 【分析】因已经固定,那么点在直线上运动,的最大值显然在圆和直线相切时取到. 【解析】解法1：易知点,记的外接圆与直线相切于点,则,此时. 设点,则, ,解得, 则. 解法2：易知点. 设点,则,且,故,当时取得等号; 要使最大,则为最大的正数,即时最大,此时,,此时点. 解法3：如图,以点为圆心,为圆上两点作圆,使直线与圆相切于点,则此时的为直线上唯一弦的圆周角,其余为弦的圆外角,此时的为最大的锐角(米勒定理),故最大. 下面计算此时的： 由题意,点在的中垂线即轴上,由此可设点, 因为,所以,解得. 当时,为锐角; 当时,为钝角; 故最大时.所以,故. 解法4：注意到,目标是其对角的正弦值,故考虑使用正弦定理进行转化:,