2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题 相似三角形问题

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（相似三角形问题） 一、解答题 1．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点坐标为（1，﹣4）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，抛物线在第四象限的图象上有一点M，求四边形ABMC面积的最大值及此时点M的坐标； (3)如图2，直线CD交x轴于点E，若点P是线段EC上的一个动点，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标； (3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，直线yx+b与地物线y＝ax2交于A．B两点，与y轴于点Ｃ，其中点A的坐标为（﹣4，8）． (1)求a，b的值； (2)将点A绕点C逆时针旋转90°得到点D． ①试说明点D在抛物线上； ②如图2，将直线AB向下平移，交抛物线于E，F两点（点E在点F的左侧），点G在线段OC上．若（点G，E，F分别与点D，B，A对应），直接写出点G的坐标． 4．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且满足OB＝OC＝3OA． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点D是该抛物线的顶点，点P(m，n)是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当∠PBA＝∠CBD时，求m的值； (3)如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，问：当直线l绕点M旋转时，＋是否为定值？若是请直接写出该定值，若不是请说明理由． 5．如图，抛物线（）与x轴交于A、(3，0)两点，与y轴交于点(0，3)，顶点为D，抛物线与关于x轴对称． (1)求抛物线和的函数表达式； (2)已知点E是抛物线的顶点．点M是抛物线上的动点，且位于其对称轴的右侧．过点M向其对称轴作垂线，交对称轴于点P．是否存在这样的点M，使得以P、M、E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限抛物线上一动点，连接，的延长线与轴交于点，过点作轴于点，以为轴，翻折直线，与抛物线相交于另一点．设点横坐标为，点横坐标为，求出与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，连接，点在上，且RG=RC，连接，若，求点坐标． 7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（m＞0），顶点为D． (1)如图1，当m＝1时， ①求该二次函数的解析式； ②点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接AC、OP相交于点Q，求的最大值； (2)如图2，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三形与△BOC相似． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点C的直线l与该抛物线交于另一点D，并且直线l∥x轴，点P(m，y1)为该抛物线上一个动点，点Q（m，y2）为直线l上一个动点． (1)当m＜0，且y1＝y2时，连接AQ，BD，说明：四边形ABDQ是平行四边形； (2)当m＞0，连接AQ，线段AQ与线段OC交于点E，OE＜EC，且OE•EC＝2，连接PQ，求线段PQ的长； (3)连接AC，PC，试探究：是否存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与轴交于点A（-2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线，线段BC以及x轴于点P、D、E． (1)求抛物线的表达式； (2)连接AC，AP，当直线运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标； (3)作PF⊥BC，垂足为F，当直线运动时，求Rt△PFD面积的最大值． 10．如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B． (1)求抛物线的解析式； (2)E（m，0）为x轴上一动点，过点E