精品解析：北京师范大学附属实验中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题

2021北京北师大实验中学高二（上）期中 数 学 一、单项选择题（本题共10个小题，在每小题列出的四个选项中，只有一项最符合题意，每小题4分，共40分.） 1. 已知空间向量，化简的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 如果空间向量不共面，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点是正方形的中心，点为正方形所在平面外一点，则（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，已知点下列叙述中正确是（ ） ①点关于轴的对称点是 ②点关于平面的对称点是 ③点关于轴的对称点是 ④点关于原点的对称点是 A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ②③ 5. 已知直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. D. 7 6. 的展开式中常数项为（ ）． A. B. C. 15 D. 20 7. 已知直三棱柱中，，，则的值为（ ） A B. C. D. 8. 已知直线的斜率为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 不存在 9. 如图所示，已知正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 10. 马路上有依次编号为的9盏路灯，为节约用电，某个时段可以把其中3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法的种数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 11. 已知向量，则______. 12 设，则______ 13. 用排成无重复数字的三位偶数的个数为______ 14. 已知点，则原点到平面的距离为______. 15. 点关于直线的对称点的坐标为______ . 16. 如图，在长方体中，，点在棱上，当取得最小值时，，则线段长为______ 三、解答题（本题共6小题，共80分） 17. 已知点. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求点到直线的距离. 18. 在棱长为4的正方体中，解答下列问题： （1）点分别是线段和的四等分点，分别满足，求和所成角的余弦值； （2）点是线段的四等分点，满足，求与平面所成角的正弦值. 19. 分别求满足下列条件的各圆的方程. （1）过点且圆心在直线上； （2）与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得弦长为. 20. 如图，已知四棱锥中，是直角梯形，，平面，. （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的余弦值. 21. 如图，点是以为直径的圆上异于的点，平面平面.，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线. （1）求证：直线平面； （2）求证：直线直线； （3）直线上是否存在点，使直线分别与平面、直线所成的两角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 22. 记集合，对于定义：为由点确定的广义向量，为广义向量的绝对长度， （1）已知，计算； （2）设，证明：； （3）对于给定，若满足且，则称为中关于的绝对共线整点，已知， ①中关于的绝对共线整点的个数为______； ②若从中关于的绝对共线整点中任取个，其中必存在4个点，满足，则的最小值为______ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021北京北师大实验中学高二（上）期中 数 学 一、单项选择题（本题共10个小题，在每小题列出的四个选项中，只有一项最符合题意，每小题4分，共40分.） 1. 已知空间向量，化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加减运算即可求解. 【详解】， 故选：. 2. 如果空间向量不共面，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量不共面性质求出即可的答案. 【详解】因为， 所以， 由空间向量不共面， 所以， 所以， 故选：D. 3. 已知点是正方形的中心，点为正方形所在平面外一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别在和中利用向量加法的平行四边形法则就可得出答案. 【详解】因为点是正方形的中心，所以分别为,的中点， 所以在中，， 同理，在中，， 所以. 故选：. 4. 在空间直角坐标系中，已知点下列叙述中正确的是（ ） ①点关于轴的对称点是 ②点关于平面的对称点是 ③点关于轴的对称点是 ④点关于原点的对称点是 A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间坐标的对称性进行判断即可． 【详解】点关于轴的对称点的坐标是，，，故①错误； 点关于平面的对称点的坐标是，，，则