“20、21题”24分压轴练(2)-【红对勾】2023版高考数学(理科)二轮复习讲与练

高三二轮·数学·2(理科) “20、21题”24分压轴练(2) 20.已知双曲线C:x 2 a2- y2 b2= 1(a>0,b>0)的 左、右焦点分别为F1,F2,点T(-23,3) 在双曲线C 上,TP 垂直x 轴于点P,且点P 到双曲线C 的渐近线的距离为2. (1)求双曲线C 的标准方程; (2)已知过点F2的直线l与双曲线C的右支 交于A,B 两点,且 △ABP 的外接圆圆心Q 在y轴上,求满足条件的所有直线l的方程. 21.(2022· 烟台市诊断性测试)已 知 函 数 f(x)= 1 2ax 2-x-ln x(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x≥1时,|f(x)|≥2,求a的取值 范围; (3)证明:∑ n k=2 1 ln k>1- 1 n (n≥2,n∈N*). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 190 高三二轮·数学·2(理科) “20、21题” 24分压轴练(1) 20.解:(1)电动机工作时间不少于4个月 共有三种情况: ① 装入两件甲品牌,概率为 C24 C26 = 2 5 ; ② 装入一件甲品牌,一件乙品牌,且 乙品牌的使用寿命为4个月,概率为 C14×C12 C26 × 1 2 = 4 15 ; ③ 装入两件乙品牌,且两件的使用寿命 均为4个月,概率为 C22 C26 × 1 2× 1 2 = 1 60. ∴电动机可工作时间不少于4个月的 概率为P = 2 5 + 4 15+ 1 60= 41 60. (2)若采用方案一,设电动机可工作 时间为X(单位:月),则 X 的可能取 值为7,8, P(X =8)= 1 2 × 1 2 = 1 4 , P(X =7)=1-P(X =8)= 3 4 , ∴X 的分布列为 X 7 8 P 34 1 4 ∴E(X)=7× 3 4 +8× 1 4 = 29 4 , 它与购置轴承的成本之比为 E(X) 1 000+1 000= 29 8 000. 若采用方案二,设两件乙品牌轴承的 使用寿命之和为Y(单位:月),则Y 的 可能取值为6,7,8, P(Y =6)= 1 2 × 1 2 = 1 4 , P(Y =7)=2× 1 2 × 1 2 = 1 2 , P(Y =8)= 1 2 × 1 2 = 1 4. 设甲品牌轴承的使用寿命为 M(单位: 月),此时电动机可工作时间为Z(单 位:月),则Z 的可能取值为6,7,8, P(Z =6)=P(Y =6)= 1 4 , P(Z =7)= P(M =7,Y ≥7)+ P(M =8,Y =7)= 1 2× 3 4+ 1 2× 1 2 = 5 8 , P(Z =8)=P(M =Y =8)= 1 2× 1 4 = 1 8 , ∴Z 的分布列为 Z 6 7 8 P 14 5 8 1 8 ∴E(Z)=6× 1 4+7× 5 8+8× 1 8 = 55 8 ,它 与 购 置 轴 承 的 成 本 之 比 为 E(Z) 1 000+400+400= 11 2 880 , ∵ 298 000< 11 2 880 ,∴从性价比的角度 考虑,方案二更实惠. 21.解:(1)f'(x)=ex +xex - a x -a= ex(x+1)- a(x+1) x = (x+1) ex - a x , 当a=e时,f'(x)= (x+1) ex - e x ,x >0, 当x>1时,ex > e x ,ex - e x >0 ,可 得f'(x)>0,f(x)单调递增, 当0<x<1时,ex < e x ,ex - e x < 0,可得f'(x)<0,f(x)单调递减, 综上 所 述,f(x)在(0,1)上 单 调 递 减,在(1,+∞)上单调递增. (2)由(1)知f'(x)= (x+1) ex - a x , ①当a<0时,f'(x)=(x+1) ex- a x >0恒成立,此时f(x)单调递 增,f(x)的值域为R,不符合题意; 当a=0时,则f 1 2 = 12e 1 2 <1, 也不符合题意, 当a>0时,令f'(x)=(x+1) ex- a x =0,可得ex - ax =0,即ex· x-a=0, 令g(x)=ex·x,则g'(x)=ex· x+ex =ex(x+1)>0,所以g(x)= ex·x 在(0,+∞)上单调递增, 设存在x0 ∈ (0,+ ∞),使得e x0· x0 =a,两