(讲义)专题四 提分微课(4) 截面问题-【红对勾】2023版高考数学(理科)二轮复习讲与练

第一部分 专题四 立体几何 提分微课(4) 截面问题 立体几何中截面与交线问题涉及线、面位 置关系,点线共面、线共点等问题,综合性强,思 维层次高,能够培养学生直观想象和逻辑推理 等数学核心素养. 1.平行线法 [例1] 如图所示,在棱 长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1 中,过对角线BD1 的一个平面交棱AA1于点E, 交棱CC1 于点F,得四边形 BFD1E,在以下结论中,不正确的是 ( ) A.四边形BFD1E 有可能是梯形 B.四边形BFD1E 在底面ABCD 内的投影 一定是正方形 C.四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D D.四边形BFD1E 面积的最小值为 6 2 平行线法主要应用线面平行、面面平行的性质. 本例用到了面面平行的性质定理. 2.作延长线找交点法 [例2] 在正方体ABCD-A1B1C1D1 中, M,N 分 别 是 棱 DD1 和 BB1 上 的 点,MD = 1 3DD1 ,NB= 1 3BB1 ,那么正方体过点M,N,C1 的截面图形是 ( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 本题借助于平面的基本性质 ——— 公理法解决截 面问题.若直线相交但是立体图形中未体现,可通过 作延长线的方法先找到交点,然后借助交点找到截面 形成的交线. 1.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 中, E 为B1C1 的中点,则过B,D,E 三点的平面 截正方体ABCD-A1B1C1D1 所得的截面面 积为 ( ) A.3 102 B. 9 2 C.32 D.2 10 2.如图所示,正方体ABCD- A1B1C1D1 的棱长为2,E, F 分别为AA1,AB 的中点, M 点是正方形ABB1A1 内 的 动 点,若 C1M ∥ 平 面 CD1E,则M 点的轨迹长度为 . 3.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,点E,F,G分别是棱A1B1,B1C1,CD 的中 点,则由点E,F,G 确定的平面截正方体所得 的截面多边形的面积等于 . 4.如图,在三棱锥P-ABC 中, PA⊥平面ABC,AB⊥BC, PA=AB=2,AC=22,M 是BC 的中点,则过点 M 的 平面截三棱锥P-ABC 的外接球所得截面面 积的最小值为 . 5.(2022·哈尔滨六中5月三 模)如图,正方体ABCD- A1B1C1D1 的棱长为1,点 M 在棱A1D1 上,A1M = 2MD1,过M 的平面α与平 面A1BC1 平行,且与正方体各面相交得到截 面多边形,则该截面多边形的周长为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 039 详解答案 图1 5.D 若AM ∥ 平面 BDN,如图1,连接 AC,MC,记DN 交 MC 于 点S,AC 交 BD于点T,连接ST, 则AM∥ST,又T为 AC的中点,故S 也 为MC 的中点.延长 CM 交 DD1 的延长 线于点Q,可知CSSQ= 1 3 = CN DQ ,即CN= 4 3 ,故 ① 错误;若 MN ⊥ 平面BDN, 则 MN ⊥BD,又 BD ⊥ DD1,所以 BD ⊥ 平面 DCC1D1,这是不可能的, 故 ② 错误;利用等体积法VN-BCD = VC-BDN,BN = DN = 5,S△BDN = 1 2 ×22× 3= 6 ,所以1 3 × 1 2 × 2×2×1= 1 3× 6×h ,解得h= 6 3 , 求得点C 到平面BDN 的距离为 63 ,故 图2 ③正确;如图2,连接 BC1,AD1,AM ⊂ 平 面ABC1D1,点B ∈ 平 面 ABC1D1,点 N ∉ 平面ABC1D1, 利用异面直线的判 定定理“过平面内一点和平面外一点 的直线与平面内 不 过 该 点 的 直 线 异 面”,故 ④ 正确.故选D. 提分微课(4) 截面问题 例1 A 对于选项A,过BD1 作平面与 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的截面为 四边形BFD1E,因为平面ABB1A1 ∥ 平面DCC1D1,且平面BFD1E∩平面 ABB1A1 =BE,平面BFD1E ∩ 平面 DCC1D1=D1F,因此,BE∥D1F,同 理D1E∥BF,故四边形BFD1E 为平 行四边形,因此A错误;对于选项B,四 边形BFD1E 在底面ABCD 内的投影 一定是正方形ABCD,因此B正确;对 于选项C