(讲义)专题四 提分微课(3) 立体几何中的动态问题-【红对勾】2023版高考数学(理科)二轮复习讲与练

第一部分 专题四 立体几何 探究性问题 [例4] (2022·沈阳市联考) 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,△ABC是以BC为斜边的等腰 直角三角形,AA1=AB,点D,E 分别为棱BC,B1C1 上的点,且 BD BC = C1E C1B1= t(0<t<1). (1)若t= 1 2 ,求证:AD ∥ 平面A1EB; (2)若二面角C1-AD-C 的大小为 π 3 ,求实 数t的值. 空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性 问题,它无需进行复杂的作图、论证、推理,只需通过 坐标运算进行判断.但注意空间直角坐标系建立的规 范性及计算的准确性,否则容易出现错误. 如图,在四棱锥E-ABCD 中, 底面 ABCD 为 矩 形,平 面 ABCD ⊥平面ABE,∠AEB =90°,BE =BC,F 为CE 的 中点. (1)求证:平面BDF ⊥ 平面ACE; (2)若2AE=EB,在线段AE 上是否存在一 点P,使得二面角P-DB-F 的余弦值的绝对 值为 10 10 ? 请说明理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 八 提分微课(3) 立体几何中的动态问题 立体几何中的动态问题主要包括:空间动 点轨迹的判断,求轨迹的长度及动角的范围等. 点动成线、线动成面,立体几何中的动点问题常 隐藏了它所处的几何模型,抓住动点的运动规 律,挖掘出几何模型是制胜法宝.建立空间直角 坐标系,使空间中的每一个点都对应一个坐标, 从而实现几何问题代数化,同时抓住动点变化 规律,利用坐标来表示动点,可以大大降低思维 的抽象性,在解动点问题时,坐标法往往十分 有效. 1.动点轨迹 [例 1] 已 知 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为4, M 为DD1 的中点,N 为ABCD 所在平面上一动点,则下列命题正 确的是 . ① 若MN 与平面ABCD 所成的角为π4 ,则 点N 的轨迹为圆; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 037 高三二轮·数学·2(理科) ②若MN=4,则MN 的中点P 的轨迹所围 成图形的面积为2π; ③若点N 到直线BB1与直线DC的距离相 等,则点N 的轨迹为抛物线; ④ 若D1N 与AB 所成的角为 π 3 ,则点N 的 轨迹为双曲线. 2.度量问题 [例2] (1)(2022·上海 市复兴高级中学月考)如图, 在 棱 长 为 2 的 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中,点P 为 平面ACC1A1 上一动点,且满足D1P ⊥CP,则 满足条件的所有点P 围成的平面区域的面积 为 . (2)(2022·湖南师大附中 月考)如图,在棱长为4的正方 体 ABCD-A'B'C'D' 中,E,F 分别是AD,A'D'的中点,长为 2的线段MN 的一个端点M 在线段EF 上运动, 另一个端点N 在底面A'B'C'D'上运动,则线段 MN 的中点P 的轨迹与正方体侧面所围成的较 小的几何体的体积为 ( ) A.4π3 B. 2π 3 C.π6 D. π 3 1.(2022·宁波模拟)在棱长为22的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分 别 为 棱 AB, AD 的中点,P 为线段C1D 上的动点,则直线 A1P 与平面D1EF 的交点Q 的轨迹长度为 ( ) A.2 153 B. 43 3 C.2 133 D. 42 3 2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2, M 为棱C1D1的中点,点N 在正方体的表面上 运动(N 不与B1 重合),且B1N ⊥AM,则动 点N 的轨迹长度为 ( ) A.35 B.22+25 C.32+25 D.45 3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中, P 是面对角线BC1 上的点(包括端点),过点 A1 的平面α 与直线PD 垂直.当点P 在面对 角 线 BC1 上 运 动 时,平 面 α 截 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 所得的截面面积的最小 值是 ( ) A.1 B.54 C.62 D.2 4.(2022·新乡模拟)正四面体ABCD 的棱长为 1,点P 是该正四面体内切球球面上的动点, 当PA→·PD→取得最小值时,点P 到AD 的距 离为 ( ) A.32- 612 B. 6- 3 12 C.22- 312 D. 2 4 5.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2,M 为棱D1C1 的 中点,N 为棱CC1 上