(讲义)专题四 第三讲 立体几何中的向量方法-【红对勾】2023版高考数学(理科)二轮复习讲与练

高三二轮·数学·2(理科) 2.在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形, 既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形,善 于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解. 图 ① 是由矩形 ADEB,Rt△ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形,其中AB =1, BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC 折起使得BE 与BF 重合,连接DG,如图②. (1)证明:图②中的A,C,G,D 四点共面,且 平面ABC⊥ 平面BCGE; (2)求图 ② 中的四边形ACGD 的面积. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 七 第三讲 立体几何中的向量方法 1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向 量方法 设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面 α,β的法向量分别为u=(a2,b2,c2),v=(a3, b3,c3),则 (1)线面平行 l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0⇔a1a2+b1b2+c1c2= 0. (2)线面垂直 l⊥α⇔a∥u⇔a=ku⇔a1=ka2,b1=kb2, c1=kc2. (3)面面平行 α∥β⇔u∥v⇔u=λv⇔a2=λa3,b2=λb3, c2=λc3. (4)面面垂直 α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3= 0. 2.直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的 角计算 设直线l,m 的方向向量分别为a=(a1,b1, c1),b=(a2,b2,c2),平面α,β 的法向量分别 为u=(a3,b3,c3),v=(a4,b4,c4)(以下相同). (1)线线夹角 设l,m 的夹角为θ0≤θ≤ π 2 ,则 cos θ=| a·b| |a||b|= |a1a2+b1b2+c1c2| a21+b21+c21 a22+b22+c22 . (2)线面所成的角 设直线l与平面α 的所成的角为θ 0≤θ≤ π 2 ,则sin θ=| a·u| |a||u|=| cos<a,u>|. (3)二面角 设α-l-β 的平面角为θ(0≤θ≤π), 则|cos θ|=| u·v| |u||v|=| cos<u,v>|. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 034 第一部分 专题四 立体几何 1.(2022·全国甲卷)在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面ABCD, CD ∥AB,AD=DC=CB=1, AB=2,DP= 3. (1)证明:BD ⊥PA; (2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值. 2.(2021·新高考全国 Ⅱ 卷)在 四 棱 锥 Q-ABCD 中,底 面 ABCD 是正方形,若AD =2, QD=QA= 5,QC=3. (1)证明:平面QAD ⊥ 平面ABCD; (2)求二面角B-QD-A 的平面角的余弦值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用空间向量证明平行与垂直 [例1] 如图,在四棱 锥P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AD ⊥ AB,AB ∥ DC,AD =DC =AP =2, AB=1,点E 为棱PC 的中点.证明: (1)BE ⊥DC; (2)BE ∥ 平面PAD; (3)平面PCD ⊥ 平面PAD. 利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤 (1) 建立空间直角坐标系,建系时要尽可能地利 用条件中的垂直关系. (2) 建立空间图形与空间向量之间的关系,用空 间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素. (3) 通过空间向量的运算求出直线的方向向量或 平面的法向量,再研究平行、垂直关系. (4) 根据运算结果解释相关问题. 如图,在直三棱柱ADE- BCF中,平面ABFE和平 面ABCD 都是正方形且 互相垂直,点M 为AB 的 中点,点 O 为DF 的中点.运用向量方法 证明: (1)OM ∥ 平面BCF; (2)平面MDF ⊥ 平面EFCD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 035 高三二轮·数学·2(理科) 利用空间向量求线面角 [例2] (2022·佛山市质量 检测)如图,在以P,A,B,C,D为 顶点的五面体中,平面ABCD 为 等 腰 梯 形,AB ∥ CD,AD = CD= 1 2AB ,平面PA