(讲义)专题六 提分微课(6) 抛物线焦点弦的拓展结论-【红对勾】2023版高考数学(理科)二轮复习讲与练

第一部分 专题六 解析几何 动线过定点问题的两大类型及解法 (1) 动直线l过定点问题的解法:设动直线方程 (斜率存在) 为y=kx+t,由题设条件得t用k表示为 t=mk,得y=k(x+m),故动直线过定点(-m,0). (2) 动曲线C 过定点问题的解法:引入参变量建 立曲线C 的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系 数等于零,得出定点. 如图,已知焦点在x 轴上的 椭圆C:x 2 4 + y2 3 =1 ,点 P 23 ,0 ,点A 是椭圆的右 顶点,直线l与椭圆C 交于不同的两点E,F, E,F两点都在x 轴上方,且∠APE= ∠OPF. 证明:直线l过定点,并求出该定点坐标. 定值问题 [例4] 已知圆O:x2+y2=b2 经过椭圆 C:x 2 a2+ y2 b2= 1(a>b>0)的右焦点F2,过点F2 作圆O 的切线,其被椭圆C 截得的弦长为 2. (1)求椭圆C 的方程; (2)若点A,B 是椭圆C 上异于短轴端点的 两点,点M 满足OM→=OA → +OB →,且OM→2+AB →2= 6,试确定直线OA,OB 斜率之积是不是定值,若 是,求出这个定值;若不是,说明理由. 定值问题解题方法 (1) 特殊到一般法,通过考查极端位置探索出“定 值” 是多少,然后再证明这个值与变量无关,特别是如 果题目以客观题出现,这种方法非常有效. (2) 引入参数法,即引入变量,构建函数,推导定值. 已知椭圆C:x 2 a2+ y2 b2= 1(a>b>0)的离心 率为2 3 ,且左顶点到右焦点的距离为5. (1)求椭圆C 的方程; (2)椭圆上有两点A,B,O 为坐标原点,且 AO⊥BO,证明:存在定点M,使得M 到直线 AB 的距离为定值,并求出定值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 十四 提分微课(6) 抛物线焦点弦的拓展结论 数学抽象素养水平表现为能够在得到的数 学结论的基础上形成新命题,能够针对具体的问 题运用数学方法解决问题,而新命题、新结论有 助于数学运算,两者相辅相成.本课时抛物线的 焦点弦问题的四个常用结论即为具体表现之一. 设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点 F 的弦.若A(x1,y1),B(x2,y2),α 是弦AB 的 倾斜角. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 061 高三二轮·数学·2(理科) 1.活用x1·x2=p 2 4 ,y1·y2=-p2 [例1] 已知抛物线C 的顶点是原点O,焦 点F 在x 轴的正半轴上,经过点F 的直线与抛 物线C 交于A,B 两点,若OA→·OB→=-12,则抛 物线C 的方程为 ( ) A.x2=8y B.x2=4y C.y2=8x D.y2=4x 该题通过抛物线的特殊性质,脱离于传统的联立 方程组求解,较为迅速地得到结果,体现了模式化的 认识特征,将特殊的概念结论广泛地、抽象地应用于 数学题目,体现了数学抽象的核心素养;代入数值进 行计算,体现了数学运算的核心素养. 2.活用|AB|=x1+x2+p= 2p sin2α [例2] (2022·厦门外国语学校模拟)设F 为抛物线C:y2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为 30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则 △OAB 的面积为 ( ) A.334 B. 93 8 C.6332 D. 9 4 该题通过抛物线弦长公式的结论的拓展,将复杂 的面积问题抽象为长度、距离问题,体现了数学抽象 的核心素养;再通过倾斜角、斜率联立方程坐标运算, 体现了数学运算的核心素养. 3.活用 1 |AF|+ 1 |BF|= 2 p [例3] 过抛物线y2=4x的焦点F的直线 l与抛物线交于A,B 两点,若|AF|=2|BF|, 则|AB|= ( ) A.4 B.92 C.5 D.6 该题将求弦长问题,通过焦半径与p 之间的关 系,转化为求焦半径问题,体现了数学抽象的核心素 养;通过焦半径结论代入计算,体现了数学运算的核 心素养. 4.活用|AF|= p1-cos α ,|BF|= p1+cos α [例4] 点F 是抛物线y2=4x 的焦点,O 为原点,点A,B 在抛物线上且满足AF→=3FB →, 则 △AOB 的面积为 . 过抛物线y2=2px焦点F的直线l交该抛物线于 A,B 两点. (1) 若已知直线l的倾斜角为α,则焦半径公式为 |AF|= p1-cos α ,|BF|=