湖北省十七所重点中学2023届高三第一次联考(2月)数学试题

绝密H启用前 2023届湖北省十七所重点中学高三第一次联考 数 学 一、选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1. 已知集合 A = {x | 2x > 2}, B = {x | x2 − 4 < 0},则 A ∩B = A. ∅ B. {2} C. {x | 1 < x < 2} D. {x | 1 < x < 4} 2. 设 cosx = 1 3 ,则 sin ( x− π 2 ) = A. 1 3 B. −1 3 C. 2 √ 2 3 D. −2 √ 2 3 3. 函数 f(x) = log2 1 x 的导函数为 A. f ′(x) = ln 2 x B. f ′(x) = 1 x ln 2 C. f ′(x) = − ln 2 x D. f ′(x) = − 1 x ln 2 4. 设复数 z满足 (1 + 2i)z + (1− 2i)z̄ = 4, (1− 2i)z + (1 + 2i)z̄ = 6, 则 z的虚部为 A. 1 2 B. −1 2 C. 1 4 D. − i 4 5. 某气象兴趣小组利用身边的物品研究当地的降雨量. 他们使用一个上底面半径为 15cm、 下底面半径为 12cm、高为 25cm 的水桶盛接降水. 当水桶内盛水至总高的一半时, 水的 体积约占水桶总体积的 A. 40% B. 44% C. 48% D. 52% 6. 已知平面向量 a, b满足 a·b = |2a+ b|,则 |a|·|b|的最小值为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 7. 设集合 A = {1, 2, · · · , 2023}, S = {(A1, A2, · · · , A100)|A1 ⊆ A2 ⊆ · · · ⊆ A100 ⊆ A},则集 合 S 的元素个数为 A. C1002023 B. C1012023 C. 1002023 D. 1012023 8. 设随机变量 X ∼ B(n, p), 当正整数 n 很大, p 很小, np 不大时, X 的分布接近泊松分布, 即 P (X = i) ≈ e −np(np)i i! (n ∈ N). 现需 100个正品元件,该元件的次品率为 0.01,若要有 数学试题 B第 1页(共 4页) 95%以上的概率购得 100个正品,则至少需购买的元件个数为 (已知 1e = 0. 367 879 · · · ) A. 100 B. 101 C. 102 D. 103 二、选择题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符 合题目要求。全部选对的得 5分,部分选对的得 2分,有选错的得 0分。 9. 已知递增的正整数列 {an}的前 n项和为 Sn. 以下条件能得出 {an}为等差数列的有 A. Sn = n2 + n(n ∈ N∗) B. Sn = n2 + 1(n ∈ N∗) C. an+2 = an + 2(n ∈ N∗) D. a2n = 2an(n ∈ N∗) 10. 已知 1 + ln a a = e1−b b = ec− 1 c > 0,则 A. a ⩾ b B. b ⩾ c C. a ⩾ c D. 2b ⩾ a+ c 11. 已知 ⊙P : x2 + (y − 3)2 = 9, ⊙Q : (x − 4)2 + y2 = 1, ⊙R : (x + 1)2 + (y − 4)2 = 1. 点 A,B,C 分别在 ⊙P,⊙Q,⊙R上. 则 A. |AB|的最大值为 9 B. |AC|的最小值为 2− √ 2 C.若 AB 平行于 x轴,则 |AB|的最小值为 4− √ 5 D.若 AC 平行于 y轴,则 |AC|的最大值为 1 + √ 17 12. 已知正方体 ABCD − A1B1C1D1 的边长为 2,点 P , Q分别在正方形 A1B1C1D1 的内切 圆,正方形 C1D1DC 的外接圆上运动,则 A. −−→ PQ·−−→CD ⩽ 2 + 2 √ 2 B. |PQ| ⩾ √ 3− √ 2 C. ∠PAQ > π 8 D. ∠PAQ < π 2 三、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分。 13. 已知多项式 f(x) = a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4满足对任意 θ ∈ R, f(cos θ) = 2 cos 4θ+ cos 3θ,则 a1 − a2 + a3 − a4 = s (用数字作答) . 14. 冰雹猜想是指: 一个正整数 x, 如果是奇数就乘以 3 再加 1, 如果是偶数就析出偶数因数 2n, 这样经过若干次, 最终回到 1. 问题提出八十多年来, 许多专业数学家前仆后继, 依然 无法解决这个问题. 已知正整数列