2.1.2向量的基本关系 课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

向量的基本关系 新知探究 向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量都是它的物理背景，有向线段是它的几何背景．向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念． 由平面内的所有向量可以构成一个平面内的向量集合，和研究一般的集合一样，我们常常要研究这个集合中的特殊元素，以及它们之间的关系，这是我们本节的任务． 设计意图：通过前面复习向量的概念和意义引出本节课的研究主题—向量的基本关系（版书）． 2 新知探究 问题1　前面我们已经学习了平面向量的概念、表示方法及两个特殊向量，请你回忆一下形成这些平面向量相关概念的基本方法和途径是什么？ 以鲜明的表象（力、速度、位移等）作为过渡， 在鲜活的感知、抽象的过程中经历概念的抽象、概括和符号化的过程． 认识到向量的两个本质属性（大小和方向）； 用实数中的特殊数0与1，类比得到向量中长度为0的向量（零向量）， 长度为1的向量（单位向量）这两个特殊向量． 师生活动：学生思考，举手回答． 设计意图：复习前面的知识． 3 新知探究 问题2　任意两个单位向量都相等吗？ 单位向量的模相同，但方向不一定相同． 师生活动：学生思考，举手回答． 4 新知探究 线段与线段间有数量关系（等与不等），还有位置关系（平行、重合、相交）． 向量与向量之间有关系． 问题3　类比线段与线段间的基本关系，我们自然会提出这样的问题：向量与向量之间有没有“关系”呢？如果有，这种新的关系又是什么呢？ 师生活动：学生思考，举手回答． 设计意图：本问题是从数学知识发展的内在逻辑中提出来的，关注了学生的数学现实，奠定了类比学习的基础；同时关注了学生已有的学科现实，促进学生利用类比方法，自主生成向量基本关系等新概念． 5 新知探究 向量可以平移，能定义这种相等关系，相等， 即． 问题4　物理中“两个物体运动速度相等”是两个矢量间的相等关系，是指它们的方向相同、大小相等．在数学上，如果是两个向量，你能“定义”这种相等关系吗？ B1 A1 B2 A2 B3 A3 在如图所示的方格纸上对应的向量相等吗？ 6 新知探究 问题5　若两个有向线段方向相同、长度相等，则它们表示的向量相等吗？若相等，那么代表相等向量的有向线段与起点位置有关吗？请举例说明． 它们表示的向量相等，且与有向线段的起点无关． 师生活动：学生思考，举手回答． 设计意图：由向量类比物理中的矢量得出向量相等的定义． 7 新知探究 问题6　你能给相等向量下一个定义吗？ 长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量． 向量a与b相等，记作a＝b． 师生活动：学生思考，小组讨论． 8 新知探究 问题7　小明沿着篮球场的边缘，从A走到B，又从B到走到A．向量和向量相等吗？若不相等，它们是什么关系？ 因为向量和向量方向不同， 又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线． 所以二者不相等． 师生活动：学生思考，举手回答． 9 新知探究 问题8　你能给出共线向量的定义吗？零向量与哪一个向量共线？ 两个非零向量a，b的方向相同或相反，称这两个向量为共线向量或平行向量． 规定：零向量与任一向量共线． 也称这两个向量共线或平行，记作a∥b． 师生活动：学生阅读教材P76，写出共线向量的定义． 10 新知探究 问题9　若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？ 不一定． 因为当b＝0时，a，c可以是任意向量． 追问：向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？ 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动． 由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上， 因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合． 所以平行向量也叫做共线向量． 师生活动：学生思考，举手回答 师生活动：学生思考，教师点拨． 设计意图：让学生进一步理解向量共线的含义． ． 11 新知探究 问题10　如图所示，在△OAB中，OA⊥AB，向量c与向量a是否共线？向量a和向量b相等吗？它们之间形成了怎样的特殊关系？特殊之处是什么？ 图中向量c与向量a不共线， 向量a和向量b不相等， 因为OA⊥AB，所以向量a和向量b垂直， 特殊之处在于向量a和向量b所成的角是90°． O A B a b c 师生活动：学生思考，教师点拨． 设计意图：帮助学生理解向量夹角的概念，从而进一步完善定义． 12 新知探究 存在夹角， 向量的夹角与直线的夹角不一样，向量的夹角与向量的方向有关． 问题11　平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？ 师生活动：学生思考，教师点拨． 设计意图：帮助学生理解向量夹角的概念，从而进一步完善向量夹角的定义． 13 新知探究 问题12　你能说出向量的夹角情况吗？ 向量的夹角：已知两个非零向量a和