2023年中考九年级数学分类讲解 - 第十二讲 圆

第12讲 圆 专项一 圆的相关概念及性质 知识清单 1．圆的定义及其相关概念 圆：如图1，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做______．其固定的端点O叫做______，线段OA叫做______． 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做______，如图1，AC，BC是弦，BC是直径． 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做______（用三个点表示，如图1中的），小于半圆的弧叫做______（如图1中的）． 圆心角：顶点在______的角叫做圆心角（如图1中的∠AOB是所对的圆心角）． 圆周角：顶点在______上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角（如图1中的∠ACB是所对的圆周角）． 2．圆是轴对称图形，对称轴是_____________，由此可得 垂径定理：垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是______）的直径______弦，并且______弦所对的两条弧． 3．圆是中心对称图形，对称中心是_____________，由此可得 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量________． 4．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即∠BAC=∠BOC（如图2）． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，即∠BAC=∠BDC（如图2）． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是______，即∠BCA=90°（如图2）；90°的圆周角所对的弦是直径． 推论3：圆内接四边形的对角______． 考点例析 例1 往水平放置的半径为13 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图1所示．若水面宽度AB＝24 cm，则水的最大深度为（　　） A．5 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm 图1 分析：如图1，作与弦AB垂直的半径，先利用垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长． 归纳：过圆心作弦的垂线可以构造垂径定理基本图形，常结合勾股定理求线段长．在图1所示的AB，OB，OD，CD四个量中，OB=OD+CD，，利用这两个关系式，知道其中任何两个，其余两个都能求出来． 例2 如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于　 　． 图2 分析：根据圆内接四边形的性质可得∠ABC的度数，连接OA，OC，由圆周角定理求出∠AOC的度数，判断△OAC的形状后，可求⊙O的半径． 例3 如图3，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是所对的圆周角，∠ACD＝30°． （1）求∠DAB的度数； （2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长． 图3 分析：（1）连接BD，根据同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠ACD＝30°，再由AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°，进而可求∠DAB的度数；（2）在Rt△ABD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD的长，在Rt△ADE中，DE=AD·sin∠DAE，再结合垂径定理可求出DF的长． 解： 归纳：在圆中经常构造直径所对的圆周角，利用圆周角定理与直角三角形的性质解题． 跟踪训练 1．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点．若∠ABD＝54°，则∠C的度数为（　　） A．34° B．36° C．46° D．54° 第1题图 2．P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10 cm，最短弦的长为6 cm，则OP的长为（　　） A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（　　） A．45° B．60° C．72° D．36° 第3题图 第4题图 4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B，C在⊙O上，边AB，AC分别交⊙O于D，E两点，点B是的中点，则∠ABE＝　 　． 5．如图，AB为⊙O的弦，D，C为的三等分点，AC∥BE． （1）求证：∠A＝∠E； （2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长． 第5题图 专项二 与圆有关的位置关系 知识清单 1. 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有 点P在圆外d___r； 点P在____d____r； 点P在圆内d____r． 2. 直线与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有 直线l与⊙O相交d___r