2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（特殊四边形问题）

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（特殊四边形问题） 1．如图，已知抛物线经过，两点，直线交轴于点，交抛物线于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，点在直线上，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)若，，三点到同一条直线的距离分别是，，，问是否存在直线，使？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，点P是直线上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P在第四象限，连接，当线段最长时，求的面积． (3)是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)动点M，N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段，上向点B，C运动，过点M作x轴的垂线交于点F，交抛物线于点H，当四边形为矩形时，求点H的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，与y轴交于点，与x轴交于点E，B． (1)求二次函数的表达式； (2)过点A作平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在上方），作平行于y轴交于点D，当点P在何位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积； (3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且为其一边，求点N的坐标． 6．如图，抛物线的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上是否存在一点M，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在请说明理由． (3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标的取值范围． 7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2．点为线段上方的抛物线上一动点，点为轴上一个动点，连接、，当面积最大时，求的最小值，并求出此时点的坐标． (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位，得到新抛物线，点是新抛物线对称轴上一点，点是新抛物线上一点，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标． 8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B（4，0），C（0，2）． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作交直线BC于D，作轴交直线BC于E，求的最大值，并求此时P的坐标； (3)如图2，在（2）中取得最大值的条件下，将该拋物线沿着水平方向右平移2个单位长度，点F为点P的对应点，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的拋物线上确定一点N，使得以点C，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，其对称轴为， (1)求该抛物线的函数解析式； (2)P为第四象限内抛物线上一点，连接，过点C作交x轴于点Q，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点Q，得到新抛物线，点E在新抛物线的对称轴上，是否在平面内存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 10．已知抛物线与x轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是直线下方抛物线上一点，过点作轴，交直线于点，交轴于点，设点的横坐标为，求线段长度的最大值． (3)点是抛物线的顶点，在平面内确定一点，使得以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点的坐标. 11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，连接． (1)求点和点的坐标； (2)如图2，点是该抛物线上一个动点，并沿抛物线从点运动至点，连接、，并以、为边作