上海市行知中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试卷

上海市行知中学2020-2021学年高二下期中数学试卷 2021.4 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.已知为等差数列,则公差___________. 2.若一个球的体积为,则该球的表面积为___________. 3.如图,以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线均为坐标轴，建立空间直角坐标系,若的坐标为，则的坐标是_______. 4.若二项式展开式的常数项为20，则实数_______. 5.、、、分别是空间四边形边、、、的中点，异面直线与所成角大小为，则_______. 6.从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是_______（结果用数值表示） 7.12名学生排成两列，每列6人，其中学生甲、学生乙不在同一列的不同排列方法数是_______. 8.若，则_______. 9.椭圆的焦点为,点为其上的动点,当为锐角时,点横坐标的取值范围为_______. 10.有3本不同的数学书和4本不同的外语书从左到右依次排放在书架的某一层上，那么其中数学书甲不排在左边第一个并且英语书不排在左边第二个的概率为_______.（结果用数值表示） 11. 如图，与是四面体中互相垂直的棱，. 若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最大值是 . 12.已知各项均不为零的数列的前项和为，,且,则的最大值等于 . 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13.“直线垂直于平面上的无数直线”是“直线垂直于平面”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.如图所示的一个几何体,哪一个是该几何体的俯视图（ ）. A B C D 15.从分别标有的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ） A. B. C. D. 16.已知圆的圆心为,过点且与轴不重合的直线交圆于,两点,点在点与点之间,过点作直线的平行线交直线于点,则点的轨迹是（ ） A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 【答案】C 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17.如图,三棱锥的主视图由两个相同的等腰直角三角形组成，左视图和俯视图均是等腰直角三角形。 (1)求三棱锥的体积; (2)求三棱锥的表面积. 18.如图,圆锥底面是以为圆心，直径的圆，为圆上一点,且为圆锥顶点，，分别是、、中点。 (1)求二面角的大小（结果用反三角函数值表示); (2)求点到过点的截面的距离. 19.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用. 如图，一顾客自一楼点处乘Ⅰ到达二楼的点处后，沿着二楼面上的圆弧逆时针步行至点处，且为弧的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点处.设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为、、，半径为米，相邻楼层的间距米，两部电梯与楼面所成角的大小均为.（第19题图） （1）求此顾客在二楼面上步行的路程； （2）求异面直线和所成角的大小（结果用 反三角函数值表示）. 20.已知圆,抛物线的经过点. (1)求抛物线的准线方程; (2)若直线与抛物线相交于不同两点,,又与圆相切于点,且为线段的中点,求直线的方程; (3),是抛物线上异于点的两个不同的动点,如果直线的斜率与直线的斜率之和为2，证明：直线过定点. 21.已知函数,数列各项均为正数，且数列、满足：，，。 （1）设，，若是无穷等比数列，求数列的通项公式； （2）若对于给定的满足:，问：是否存在递减数列，使得是无穷等比数列？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由； （3）当时，为公差不为0的等差数列且其前的和为0;若对任意满足条件的数列，其前项的和均不超过，求正整数的最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市行知中学2020-2021学年高二下期中数学试卷 2021.4 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.已知为等差数列,则公差___________. 【答案】2 【解析】. 2.若一个球的体积为,则该球的表面积为___________. 【答案】 【解析】由球的体积公式:，。 3.如图,以长