三角形形状判断解答题专练——2023届高三数学二轮专题复习

班级 组别 姓名 解答题系列（三角形形状判断专练） 一、解答题（解答规范） 1．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．求证：为等腰直角三角形 2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，判断的形状． 3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，试判断的形状. 4．已知△ABC，求证： （1）若，则C为直角； （2）若，则C为锐角； （3）若，则C为钝角. 5．在中，角、、所对的边分别为、、.已知，且为锐角. (1)求角的大小； (2)若，证明：是直角三角形. 6．已知分别满足下列条件，请依次判断的形状． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)，且． 7．已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)若，判断的形状并说明理由； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 8．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)试判断的形状，并说明理由； (2)设点D在边AC上，若，，求的值. 学而时习之 不亦乐乎 学科网（北京）股份有限公司 $班级 组别 姓名 解答题系列（三角形形状判断专练） 一、解答题（解答规范） 1．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．求证：为等腰直角三角形 【解析】由正弦定理及， 得     ，， ，     ， 又， 由余弦定理， 得， 即     ，为等腰直角三角形． 2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，判断的形状． 【解析】因为，由余弦定理知，, 所以，化简得; ,所以或，因此为直角三角形． 3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，试判断的形状. 【解析】由正弦定理（R为外接圆的半径）， 得，， 代入， 可得， 所以. 又因为角A，B，C是的内角， 所以，从而，故是等腰直角三角形. 4．已知△ABC，求证： （1）若，则C为直角； （2）若，则C为锐角； （3）若，则C为钝角. 【解析】（1）∵，∴， ∴由余弦定理得. 又∵C为△ABC的内角，∴C为直角. （2）∵，∴， ∴由余弦定理得，∴. 又∵C为△ABC的内角，∴C为锐角. （3）∵，∴， ∴由余弦定理得，∴. 又∵C为△ABC的内角，∴C为钝角. 5．在中，角、、所对的边分别为、、.已知，且为锐角. (1)求角的大小； (2)若，证明：是直角三角形. 【解析】（1）由正弦定理可知，， 又在中，，即， 为锐角，. （2） 所以由正弦定理得：， 又， 即， ， 故可得， 即 为直角三角形. 6．已知分别满足下列条件，请依次判断的形状． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)，且． 【解析】(1)因为， 故为直角三角形. (2)由，得，则或，又， 所以，即为直角三角形. (3)因为， 故为等腰三角形. (4)因为， 故为等腰三角形 (5)由，得， 则，又， 所以． 由余弦定理，得，即． 又，得，解得， 所以． 综上，故为等边三角形 7．已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)若，判断的形状并说明理由； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【解析】（1）是等边三角形.理由如下： 由数量积的定义得，. 由余弦定理得， 即， 由正弦定理及，得，即， 因为，所以或， 当时，,又，所以，所以是等边三角形； 当，即时，是直角三角形，这与矛盾. 故是等边三角形. （2） 不妨设，由， 得，于是， 又因为是锐角三角形，所以， 即，因此， 由余弦定理得，， 令，则，函数在上单调递增. 所以，因此 故的取值范围是. 8．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)试判断的形状，并说明理由； (2)设点D在边AC上，若，，求的值. 【解析】(1) 由已知条件，利用正弦定理可得， 即， 所以， 由于、B、， 所以或， 所以或B=C， 所以为等腰三角形或直角三角形； (2)在中，由正弦定理得，即， 同理在中，有， 所以， 又，所以，即， 所以， 由（1）可知或， 若，则， 所以, 因为，，所以， 又，所以，所以，即BD平分， 所以，即，所以，解得或（舍去）， 所以； 若，则为直角三角形，BD为斜边，则，与题设矛盾，故舍去； 综上，的值为. 学而时习之 不亦乐乎 学科网（北京）股份有限公司 $