2023年中考数学高频考点--二次函数与一元二次方程

2023年中考数学高频考点-二次函数与一元二次方程 1.已知:二次函数y=ax2+bx+6(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧,与y轴交于点C,点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两个根. (1)请直接写出点A、点B的坐标. (2)请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标. (3)如图,在二次函数对称轴上是否存在点P,使△APC的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,那个说明理由. 2.已知:如图,抛物线y=a(x﹣1)2+c与x轴交于点A( ,0)和点B,将抛物线沿x轴向上翻折,顶点P落在点P′(1,3)处. (1)求原抛物线的解析式; (2)学校举行班徽设计比赛,九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感:过点P′作x轴的平行线交抛物线于C,D两点,将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉,设计成一个“W”型的班徽,“5”的拼音开头字母为W,“W”图案似大鹏展翅,寓意深远;而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比 (约等于0.618).请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少?(参考数据: , ,结果可保留根号) 3.已知直线l:y=kx+4与抛物线y= x2交于点A(x1,y1),B(x2,y2). (1)求: ; 的值. (2)过点(0,-4)作直线PQ∥x轴,且过点A、B分别作AM⊥PQ于点M,BN⊥PQ于点N,设直线l:y=kx+4交y轴于点F.求证:AF=AM=4+y1. (3)证明: + 为定值,并求出该值. 4.已知二次函数y=x2+4x+k-1. (1)若抛物线与x轴有两个不同的交点,求k的取值范围; (2)若抛物线的顶点在x轴上,求k的值. 5.已知一元二次方程x2+x﹣2=0有两个不相等的实数根,即x1=1,x2=﹣2. (1)求二次函数y=x2+x﹣2与x轴的交点坐标; (2)若二次函数y=﹣x2+x+a与x轴有一个交点,求a的值. 6.在一次科学实验中,测得某物体的初始温度为 .现以每秒 的速度下降.设经过的时间为 秒,物体的温度为 .物体的温度随时间变化规律的函数解析式为 ,函数大致图象如图1所示. (1)几秒后物体的温度变为 ? 对于这个问题 ①从方程的角度看,实际上就是求方程: 的解; ②从图象的角度看,就是求函数图象与 轴交点的 坐标; ③从函数解析式的角度看,就是求函数值为 时,对应的 值. ④基于以上分析与思考,可得到: 秒后物体的温度变为 . (2)请运用以上方法解决如下问题: 函数 的图象如图2所示,则方程 的解为 . 7.突如其来的新冠疫情影响了某厂经济效益,在复工复产对产品价格进行了调整,每件的售价比进价多8元,8件的进价相当于6件的售价,每天可售出200件,经市场调查发现,如果每件商品涨价1元,每天就会少卖5件。 (1)该商品的售价和进价分别是多少元? (2)在进价不变的条件下,若每天所得的销售利润为2035元时,且销量尽可能大,该商品应涨价多少元? (3)在进价不变的条件下,商场的营销部在调控价格方面,提出了A,B两种营销方案:方案A:每件商品涨价不超过15元;方案B:每件商品的利润至少为26元.请比较哪种方案的利润更大,并说明理由. 8.已知二次函数 . (1)将二次函数表达式 化成 的形式,并直接写出其项点坐标; (2)完成下列表格并在如图所示的直角坐标系内画出该函数的大致图像; … 0 1 2 3 4 … (3)根据图象直接回答:当 时, 随 的增大而减小;当 时, 的取值范围是 . 9.如图,在平面直角坐标系中,∠ACB=90°,OC=2OB,tan∠ABC=2,点B的坐标为(1,0).抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点. (1)求抛物线的解析式; (2)点P是直线AB上方抛物线上的一点,过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点E,使PE= DE. ①求点P的坐标; ②在直线PD上是否存在点M,使△ABM为直角三角形?若存在,求出符合条件的所有点M的坐标;若不存在,请说明理由. 10.已知:关于x的方程mx²-3(m-1)x+2m-3=0。 (1)求证:m取任何实数时,方程总有实数根。 (2)若二次函数y1=mx²-3(m-1)x+2m-3的图象关于y轴对称。 ①求二次函数y1的解析式; ②已知一次函数y2=2x-2,证明:在实数范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立。 (3)在(2)条件下,若二次函数y3=ax²+bx+c的图象经过点(-5,0),且在实数范围内,对于x的同一个值,这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立,求二次函数y3=ax²+bx+c的解析式。 11.设 为常数,已知二次函数 . (1)求证:无论 为何值,该二次函数的图