2023年九年级中考数学高频考点-相似三角形

2023年中考数学高频考点-相似三角形 1.如图,在△ABC中,点D为边BC上一点,且AD=AB,AE⊥BC,垂足为点E.过点D作DF∥AB,交边AC于点F,连接EF,EF2= BD•EC. (1)求证:△EDF∽△EFC; (2)如果 ,求证:AB=BD. 2.根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形,相似四边形对应边的比叫做相似比. (1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否符合题意(直接在横线上填写“真”或“假”). ①四条边成比例的两个凸四边形相似;( 命题) ②三个角分别相等的两个凸四边形相似;( 命题) ③两个大小不同的正方形相似.( 命题) (2)如图,在四边形 和四边形 中, , ,求证:四边形 与四边形 相似. 3.如图,已知梯形中,,对角线、相交于点,. (1)求的值; (2)若,用向量与表示. 4.如图,在△ABC中,AC=10cm,D为边AB上一点,且AD=2BD. (1)实践操作:利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹,不写作法)过点D作DE∥BC,交AC边于点E (2)求AE的长. 5.如图,在△ABC中,AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点,且∠APD=∠B. (1)求证:AC•CD=CP•BP (2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长 6.如图,已知三角形ABC的边AB是圆O的切线,切点为B. AC经过圆心O并与圆相交于点D,C,过C作直线CE丄AB,交AB的延长线于点E, (1)求证:CB平分∠ACE; (2)若BE=3,CE=4,求圆O的半径. 7.如图(1),P 为△ABC 所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点 P 叫做△ABC 的费马点. (1)如果点 P 为锐角△ABC 的费马点,且∠ABC=60°. ①求证:△ABP∽△BCP; ②若 PA=3,PC=4,则 PB= . (2)已知锐角△ABC,分别以 AB、AC 为边向外作正△ABE 和正△ACD,CE 和 BD相交于 P 点.如图(2) ①求∠CPD 的度数; ②求证:P 点为△ABC 的费马点. 8.直线y=kx+b与反比例函数y= (x>0)的图象分别交于点 A(m,3)和点B(6,n),与坐标轴分别交于点C和点D. (1)求直线AB的解析式; (2)若点P是x轴上一动点,当△COD与△ADP相似时,求点P的坐标. 9.如图,四边形 内接于⊙ , , ,垂足为E. (1)若 ,则 °. (2)求证: ; (3)若 , ,求 的值. 10.如图,在 中, ,点 在 上, ,过点 作 交 于点 ,且 . (1)求 的长. (2)求 的值. 11.已知:如图,四边形ABCD是菱形,点E在边CD上,点F在BC的延长线上,CF=DE,AE的延长线与DF相交于点G. (1)求证:∠CDF=∠DAE; (2)如果DE=CE,求证:AE=3EG. 12.小波在复习时,遇到一个课本上的问题,温故后进行了操作、推理与拓展. 请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题. (1)温故:如图1,在△ 中, ⊥ 于点 ,正方形 的边 在 上,顶点 , 分别在 , 上,若 , ,求正方形 的边长. (2)操作:能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作:如图2,任意画△ ,在 上任取一点 ,画正方形 ,使 , 在 边上, 在△ 内,连结 并延长交 于点N,画 ⊥ 于点 , ⊥ 交 于点 , ⊥ 于点 ,得到四边形P .小波把线段 称为“波利亚线”. 推理:证明图2中的四边形 是正方形. (3)拓展:在(2)的条件下,于波利亚线 上截取 ,连结 , (如图3).当 时,猜想∠ 的度数,并尝试证明. 13.如图,分别位于反比例函数y= ,y= 在第一象限图象上的两点A、B,与原点O在同一直线上,且 . (1)求反比例函数y= 的表达式; (2)过点A作x轴的平行线交y= 的图象于点C,连接BC,求△ABC的面积. 14.已知:AB是⊙O的弦,OD⊥AB于点M交⊙O于点D,CB⊥AB于点B交AD的延长线于C. (1)求证:AD=DC; (2)过D作⊙O的切线交BC于E,若DE=2,CE=1,请你直接写出:AC= ,⊙O的半径= . 15.如图1,抛物线y=ax2+bx+3过A(1,0)、B(3,0)两点,交y轴于点C. (1)求抛物线的函数解析式; (2)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使△ACM的周长最小?若存在,求出△ACM周长的最小值;若不存在,请说明理由. (3)如图2,连接BC,抛物线上是否存在一点P,使得∠BCP=∠ACB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.