2023年九年级 数学 中考二轮复习热点透析 核心考点09圆

核心考点09 圆 考向分析 1．从考查的题型来看，填空题、选择题、解答题三种形式都有所考查,多数题目较难,属于中、高档题. 2．从考查的内容来看，主要涉及的有:圆的有关性质(垂径定理、圆周角定理及推论)，圆的有关位置关系(直线与圆的位置关系，切线长定理，切线的性质与判定定理)，圆的有关计算(弧长与扇形面积,圆锥的侧面积). 3．从考查的热点来看，主要涉及的有:圆的有关性质(垂径定理、圆周角定理及推论)；圆的有关位置关系(直线与圆的位置关系，切线长定理，切线的性质与判定定理)，圆的有关计算(弧长与扇形面积,圆锥的侧面积)，阴影部分的面积. 考点详解 一、垂径定理及其推论 1．垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧． 2．垂径定理推论1：如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧． 3．垂径定理推论2：如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦． 4．垂径定理推论3：如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧． 5．垂径定理推论4：如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦． 6．垂径定理推论5：如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦． 二、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 3．正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余两项皆相等． 三、圆周角定理及其推论 1．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2．推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． （2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． （3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3．注意：（1）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角． （2）圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化． （3）圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”——圆心角转化． （4）定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 四、点、直线、圆之间的位置关系 1．点与圆的位置关系判断 （1） d<r，点P在⊙O内；（2） d=r，点P在⊙O上； （3） d>r，点P在⊙O外． 其中⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d． 2．直线与圆的位置关系判断 （1） d<r，直线l与⊙O相交；（2） d=r，直线l与⊙O相切；（3） d>r，直线l与⊙O相离． 其中⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． 五．圆和扇形 1．用字母表示圆的周长，表示直径长，表示半径长，那么． 2．圆上任意两点之间的部分叫做弧． 3．设圆的半径长为，圆心角所对的弧长是，那么． 4．设圆的半径长为，面积为，那么． 5．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 6．设组成扇形的半径长为，圆心角度数为，弧长是，那么． 六．圆和圆的位置关系 （一）、相关定义： 1．外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离． 2．外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点． 3．相交：两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交． 4．内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做 这两个圆内切，这个唯一的公共点叫做切点． 5．内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含.当两个圆的圆 心重合时，称它们为同心圆． 6．圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距． 7．连心线：经过两个圆的圆心的直线叫做连心线． （二）、两圆位置关系： 1．半径不等的两圆的位置关系： 半径不等的两圆的半径分别为和，圆心距为，则两圆的位置关系可用、和之间的 数量关系表达，具体表达如下： ①两圆外离； ②两圆外切； ③两圆相交； ④两圆内切； ⑤两圆内含． 2．半径相等的两圆的位置关系有：外离、外切、相交、重合． （三）、相关定理： 1．相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦． 2．相切两圆的连心线经