2.3.1 空间向量的分解与坐标表示 教学设计-2022-2023学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第二章 空间向量与立体几何 2．3　空间向量基本定理及坐标表示 2．3.1　空间向量的分解与坐标表示 新课程标准解读 核心素养 1．了解空间向量的基本定理及其意义 数学抽象、直观想象 2．掌握空间向量的正交分解及坐标表示 数学抽象、数学运算 教学设计 一、目标展示 二、情境导入 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，在AB，AD，AA1上分别取单位向量e1，e2，e3. 问题　(1)e1，e2，e3共面吗？ (2)如何用e1，e2，e3表示向量？ 三、合作探究 知识点一　共面向量 1．一般地，能平移到同一个平面内的向量叫作共面向量． 2．向量共面的充要条件 (1)如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xe1＋ye2．这就是说，向量p可以用两个不共线的向量e1，e2线性表示． (2)在三个向量a，b，c中，某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向量共面． 知识点二　空间向量基本定理 1．设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p＝xe1＋ye2＋ze3，上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′． 2．我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组基，e1，e2，e3叫作基向量．(x，y，z)称为向量p＝xe1＋ye2＋ze3在基{e1，e2，e3}下的坐标． 知识点三　空间向量的直角坐标表示 1．标准正交基 空间任意三个两两垂直、长度均为的向量i，j，k不共面，可将它们组成空间的一组基，我们把这组基称为标准正交基． 2．空间向量的直角坐标表示 (1)在空间中任意取一点O为原点，分别以标准正交基{i，j，k}中三个基向量的方向为三条坐标轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系．将任意空间向量p＝(x，y，z)＝xi＋yj＋zk用从原点O出发的有向线段表示，则有向线段的终点P对应于这个向量p. (2)向量p＝在标准正交基{i，j，k}下的坐标(x，y，z)就是点P在这个直角坐标系中的坐标． (3)标准正交基的基向量的坐标分别是i＝(1，0，0)，j＝(0，1，0)，k＝(0，0，1)． (4)一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标． (5)向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标． 四、精讲点拨 【例1】　已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，确定在下列条件下，点P是否与A，B，M一定共面． (1)＋＝3－； (2)＝4－－. 【例2】　(1)下列能使向量，，成为空间的一组基的关系式是(　　) A．＝＋＋ B．＝＋ C．＝＋＋ D．＝2－ (2)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，给出下列向量：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基的有(　　) A．1个　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．0个 【例3】　如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1. (1)证明：A，E，C1，F四点共面； (2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值． 【例4】　(1)设{e1，e2，e3}是空间的一个标准正交基，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________； (2)已知正四面体ABCD的棱长为1，试建立恰当的坐标系并表示出向量，，的坐标． 五、达标检测 1．(多选)下列结论正确的是(　　) A．三个非零向量能构成空间的一个基，则它们不共面 B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基，则这两个向量共线 C．若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基 D．若，，不能构成空间的一个基，则O，A，B，C四点共面 2．若{a，b，c}是空间的一个基，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一个基的向量是(　　) A．a　　　　　　　　　　 B．b C．c D．2a 3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以作为空间一个基的是(　　) A．，， B．，， C．，， D．，， 4．在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________．(用a，b，c表示) 5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝_