1.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值 教学设计-2022-2023学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第一章 导数的应用 1．3．3　三次函数的性质：单调区间和极值 新课程标准解读 核心素养 1．会求三次函数的单调区间和极值 数学运算 2．体会导数与函数的单调性、极值、最大(小)值的关系 逻辑推理、数学运算 教学设计 一、目标展示 二、情境导入 观察如图所示的函数y＝f(x)，x∈[－3,2]的图象，回忆函数极值的定义，回答下列问题： 问题　(1)图中所示函数的极值点与极值分别是什么？ (2)图中所示函数的最值点与最值分别是什么？ 三、合作探究 知识点一　三次函数的单调区间和极值 　设F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则F′(x)＝3ax2＋2bx＋c是二次函数．可能有以下三种情形： 　情形1　函数F′(x)没有零点，F′(x)在(－∞，＋∞)上不变号，如图所示． (1)若a>0，则F′(x)恒为正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增． (2)若a<0，则F′(x)恒为负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减． 情形2　函数F′(x)有一个零点x＝w，如图所示． (1)若a>0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒为正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增． (2)若a<0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒为负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减． 情形3　函数F′(x)有两个零点x＝u和x＝v，设u<v，如图所示，根据二次函数的性质可得： (1)若a>0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为正，在(u，v)上为负，对应地，F(x)在(－∞，u)上递增，在(u，v)上递减，在(v，＋∞)上递增． 可见F(x)在x＝u处取极大值，在x＝v处取极小值． (2)若a<0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为负，在(u，v)上为正，对应地，F(x)在(－∞，u)上递减，在(u，v)上递增，在(v，＋∞)上递减． 可见F(x)在x＝u处取极小值，在x＝v处取极大值． 知识点二　函数的最值 1．最大值、最小值 (1)如图，一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么该函数在[a，b]上必有最大值和最小值． (2)函数y＝f(x)在[a，b]上的最值(最大值和最小值的统称)必在极值点或区间端点处取得，因此在实际计算中，我们只要把函数y＝f(x)的所有极值连同端点的函数值求出并进行比较，就可以求出函数在该闭区间上的最大值与最小值． 2．求函数最值的步骤 一般地，求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤为： (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)求函数y＝f(x)在端点处的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大者是最大值，最小者是最小值． 四、精讲点拨 【例1】　已知函数f(x)＝x3－(a＋2)x2＋2ax＋(a∈R)． (1)若函数f(x)在x＝2处取得极小值1，求实数a的值； (2)讨论函数f(x)的单调性． 【例2】　求下列各函数的最值： (1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]； (2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]． 【例3】　已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值． 【例4】　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值． 五、达标检测 1．当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是(　　) A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x 2．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为(　　) A．－37 B．－29 C．－5 D．－11 3．函数y＝的最大值为(　　) A．e－1 B．e C．e2 D．10 4．函数f(x)＝x－sin x，x∈[0，π]的最小值为________． 六、课堂小结 1.三次函数的单调性和极值； 2.函数的最值问题 3.由函数的最值求参. 课后作业 教后反思 3．4　导数的应用举例 新课程标准解读 核心素养 会用导数解决相关实际问题 数学建模、数学运算 教学设计 一、目标展示 二、精讲点拨 【例1】　请你设计一个包装盒，如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角