1.3.4 导数的应用举例（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

1．3.4　导数的应用举例 课程内容标准 学科素养凝练 1．理解实际生活中的最优化问题． 2．会利用导数解决实际生活中的最优化问题． 在利用导数解决生活中优化问题的过程中提升数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养． [对应学生用书P35] 在实际问题中，投入一定的成本如何获得最大的利润？制作满足一定要求的器皿如何用料最省？完成一项任务如何使功效最高？这类问题都叫作优化问题． 应用导数知识解决实际问题时，首先要明确题目的已知条件和所要求解的问题，然后根据题意建立适当的函数关系，将所求问题转化为求函数的限制条件下的最大(小)值问题．此过程用框图表示如下： 说明：(1)常将问题中能取得最大值或最小值的那个变量设为y，而将另一个与y有关的变量设为x，然后利用导数求出所列函数的极值点，再进一步分析可得出函数的最值． (2)实际问题中，一般通过函数的单调性和问题的实际意义确定最值． [对应学生用书P36] 已知一扇窗子的形状为一个矩形和一个半圆相接，其中半圆的直径为2r，如果窗子的周长为10，求当半径r取何值时窗子的面积最大． 解：设矩形的另一边长为x，半圆弧长为πr，∴πr＋2r＋2x＝10，∴x＝. 又S＝πr2＋2xr＝10r－(π＋2)r2(0<r<)，∴S′＝10－(π＋4)r，令S′＝0，得r＝， 当0<r<时，S′>0，当<r<时，S′<0， ∴当r＝时，S取得极大值，也是最大值． ∴当r＝时，窗子的面积最大． [方法总结]　关于平面图形中的最值问题 平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值． [训练1]　在等腰梯形ABCD中，上底CD＝40，腰AD＝40，则AB＝________时，等腰梯形面积最大． 80　解析：如图，设∠A＝θ， 则h＝AD sin θ，AB＝40＋2AD cos θ， 故S＝AD sin θ(40＋40＋2AD cos θ) ＝20(80＋80cos θ)sin θ ＝1 600(1＋cos θ)sin θ. S′＝1 600[cos θ(1＋cos θ)－sin θsin θ]， 令S′＝0得cos θ＝－1，cos θ＝. 因为0＜θ＜，所以cos θ＞0.所以cos θ＝. 即θ＝时，等腰梯形的面积最大，此时AB＝40＋2×40×＝80. 已知一圆柱形金属饮料罐，当圆柱形金属饮料罐的容积为定值V时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ 解：设圆柱的高为h，底面半径为R，则表面积S＝2πRh＋2πR2. 由V＝πR2h，得h＝，则S(R)＝2πR＋2πR2＝＋2πR2. 令S′(R)＝－＋4πR＝0，解得R＝，此时S(R)取得最小值． 从而h＝＝＝＝2，即h＝2R. 所以当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省． [变式]　若把题中的条件改为“圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S，要使它的容积最大”，它的高与底面半径的比为________． 2∶1　解析：因为S＝2πRh＋2πR2，所以h＝，所以V(R)＝πR2＝(S－2πR2)R＝SR－πR3， V′(R)＝S－3πR2＝0，得S＝6πR2，当S＝6πR2时，容积最大，此时6πR2＝2πRh＋2πR2，即h∶R＝2∶1. [方法总结]　关于立体几何中的最值问题 (1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际问题相关的问题． (2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程． [训练2]　用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．则该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 解：设容器的高为x cm，容器的容积为V(x)cm3， 则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4 320x(0<x<24). 所以V′(x)＝12x2－552x＋4 320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36). 令V′(x)＝0，得x＝10或x＝36(舍去). 当0<x<10时，V′(x)>0，即V(x)是单调递增的； 当10<x<24时，V′(x)<0，即V(x)是单调递减的． 因此，在定义域(0，24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得极大值也是最大值，其最大值为V(10)＝19 600(cm3). 因此当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千