9.1.2 余弦定理（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册（人教版B版2019）

9．1.2　余弦定理 课程标准 学科素养 1．借助平面向量的数量积，探索三角形边长与角度的关系，了解余弦定理的推导过程． 2．掌握余弦定理及其推论． 3．能用余弦定理解三角形，并能判断三角形的形状． 通过学习余弦定理及其应用，达成直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P5] 1．符号语言：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc_cos_A， b2＝a2＋c2－2ac_cos_B， c2＝a2＋b2－2ab_cos_C． 2．文字语言：三角形任意一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍． 1．在△ABC中，符合余弦定理的是(　　) A．c2＝a2＋b2－2ab cos C　　 B．c2＝a2－b2－2bc cos A C．b2＝a2－c2－2bc cos A D．cos C＝ 答案　A 2．在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 cm，A＝，则a＝________cm. 60　解析：由余弦定理得： a＝ ＝ ＝60(cm). cos A＝，cos B＝，cos C＝． 1．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝6，b＝8，c＝5，则角B为(　　) A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不确定 C　解析：由余弦定理得 cos B＝＝＝－<0. 又0°<B<180°，因此角B为钝角． 2．在△ABC中，已知a2＋b2＝c2＋ab，则C＝(　　) A．30° B．45° C．135° D．150° B　解析：由余弦定理得cos C＝＝，又C为△ABC的内角，∴C＝45°. 应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题： (1)已知三边解三角形； (2)已知两边和它们的夹角解三角形． 1．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是________． 120°　解析：设中间角为θ，则θ为锐角， cos θ＝＝，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求． 2．在△ABC中，AB＝1，BC＝2，B＝60°，则AC＝________． 　解析：利用余弦定理，得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B ＝1＋4－2×1×2×＝3， ∴AC＝. [对应学生用书P6] 在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求角A. [分析]　已知两边及其夹角，利用余弦定理求c，再用正弦定理或余弦定理的推论求角A. 解：解法一：cos 15°＝cos (45°－30°)＝， sin 15°＝sin (45°－30°)＝. 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4＋8－2×(＋)＝8－4，∴c＝－. 又b>a，∴B>A.∴角A为锐角． 由正弦定理，得sin A＝sin C＝×＝. ∴A＝30°. 解法二：cos 15°＝cos (45°－30°)＝. 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4＋8－2×(＋)＝8－4，∴c＝－. ∴cos A＝＝.又0°<A<180°，∴A＝30°. 已知两边及其夹角解三角形(此时有唯一解) 方法一： ①利用余弦定理求出第三边； ②利用正弦定理求出一个角； ③利用三角形内角和定理求出第三个角． 方法二： ①利用余弦定理求出第三边； ②利用余弦定理求出一个角； ③利用三角形内角和定理求出第三个角． 注意：方法一中的②步，注意结合三角形中的边角关系(大角对大边，小角对小边)，以免产生增根． [训练1]　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝5，b＝3，cos C是方程5x2＋7x－6＝0的根，求c. 解：5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0，解得x1＝，x2＝－2. 又cos C∈(－1，1)，且cos C是方程5x2＋7x－6＝0的根，∴cos C＝. 由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝52＋33－2×5×3×＝16.∴c＝4. 已知△ABC的三边长分别为a＝2，b＝2，c＝＋，求△ABC的各角度数． [分析]　利用余弦定理的推论求出两个角，利用三角形的内角和定理求出第三个角． 解：由余弦定理的推论， 得cos A＝ ＝＝， cos B＝＝＝. ∵0°＜A＜180°，0°＜B＜180°，b＜a＜c，∴A＝60°，B＝45°. ∴C＝180°－A－B＝180°－60°－45°＝75°. 已知三边解三角形的步骤 (1)分别用余弦定理的推论求出两个角； (2)用三角形内角和定理求出第三个角． [训练2]　在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，求△ABC中最大角． 解：∵sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7， 由正弦定理可知，a∶b∶c＝3∶5∶7. 设a＝3k，b＝5k，c＝7k(