9.1.1 正弦定理（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册（人教版B版2019）

9．1　正弦定理与余弦定理 9．1.1　正弦定理 课程标准 学科素养 1．结合实例，了解已知两边和夹角的三角形的面积公式的推理过程，掌握三角形面积公式的应用． 2．了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形． 3．能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状． 通过学习正弦定理，达成直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P1] 一般地，若记△ABC的面积为S，则S＝ab_sin_C＝ac_sin_B＝bc_sin_A． 1．在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝，则S△ABC的值为(　　) A．　　　　 B．　 C．1　　　　 D． A　解析：S△ABC＝ab sin C＝×1×2×＝. 2．在△ABC中，若a＝1，c＝2，B＝60°，则△ABC的面积为(　　) A． B． C．1 D． B　解析：S△ABC＝ac sin B＝×1×2×＝. 符号 语言 ＝＝ 文字 语言 在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等 1．在△ABC中，a＝7，c＝5，则sin A∶sin C的值是(　　) A． B． C． D． A　解析：由正弦定理得sin A∶sin C＝a∶c＝7∶5. 2．在△ABC中，一定成立的等式是(　　) A．a sin A＝bsin B B．a cos A＝b cos B C．asin B＝bsin A D．a cos B＝b cos A C　解析：由正弦定理知， ＝，∴asin B＝bsin A． 1．把三角形的三个角与三条边都称为三角形的元素． 2．已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形． 3．利用正弦定理解三角形常见的题型有 (1)已知两角一边，解三角形，有且只有一解； (2)已知两边及其中一边的对角，解三角形，它可能有两解、一解或无解． 1．在△ABC中，A＝45°，B＝30°，a＝10，则b＝(　　) A．5 B．10 C．10 D．5 A　解析：由正弦定理＝得，b＝＝＝5. 2．在△ABC中，已知A＝45°，c＝，a＝2，则C为(　　) A．30° B．60° C．120° D．30°或150° A　解析：利用正弦定理可得＝，从而sin C＝.又0°＜C＜180°，故C＝30°或150°.又A＝45°，c<a，∴ C＝30°. 1．正弦定理的推论：设R是△ABC外接圆的半径，则＝＝＝2R． 2．正弦定理的变形(R是△ABC外接圆的半径)： (1)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C． 1．在△ABC中，若a∶b∶c＝2∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于(　　) A．2∶5∶6 B．6∶5∶2 C．6∶2∶5 D．不确定 A　解析：由正弦定理，知sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝2∶5∶6. 2．△ABC中，若a＝2，sin A＝，则△ABC外接圆的半径R等于________． 3　解析：由正弦定理的推论，得2R＝＝6.即R＝3. [对应学生用书P2] 已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，求B，b，c. [分析]　先由三角形内角和求B，再由正弦定理求b、c. 解：∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由正弦定理，得b＝＝＝40sin (45°＋60°)＝10(＋)， c＝＝＝20， ∴B＝105°，b＝10(＋)，c＝20. 当已知三角形的两角和一边时，解三角形的步骤如下：(1)利用三角形内角和定理求出第三个角；(2)利用正弦定理求出另外两边 [训练1]　在△ABC中，b＝20，A＝60°，C＝45°，求B，a，c. 解：B＝180°－A－C＝75°. 由正弦定理，得a＝＝＝ ＝＝＝30－10， c＝＝＝＝20－20. ∴B＝75°，a＝30－10，C＝20－20. 探究二　已知两边和其中一边的对角解三角形 在△ABC中，根据下列条件，解三角形． (1)A＝60°，c＝，a＝； (2)a＝，b＝，B＝45°. [分析]　本题考查了利用正弦定理解决已知两边及其中一边的对角解三角形，利用正弦定理求另一边对角的正弦值，或利用三角形中大边对大角考虑解的情况，然后解三角形． 解：(1)由正弦定理得＝， ∴sin C＝＝＝. 又c＝，a＝，∵c<a， ∴C<A，故在△ABC中，C＝30°， ∴B＝180°－(A＋C)＝90°. 由正弦定理得＝， ∴b＝＝＝2.∴C＝30°，B＝90°，b＝2.