模块复习课(十一) 立体几何初步（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册（人教版B版2019）

[对应学生用书P96] [对应学生用书P96] 1．用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°). 2．几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用． 3．求解与球有关的组合体问题的关键是求出球的半径，在解决时要充分借助于图形(空间图或截面图)化空间问题为平面问题． [训练1]　如图，四边形ABCD是一水平放置的平面图形的斜二测直观图，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB＝6，CD＝4，BC＝2，则原平面图形的实际面积是________． 20　解析：由斜二测直观图的作图规则知，原平面图形是梯形，且AB，CD的长度不变，仍为6和4，高BC＝4，故所求面积S＝×(4＋6)×4＝20. [训练2]　鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方等)起源于中国古代建筑的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合十分巧妙．鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装．如图所示，图①是一种常见的鲁班锁类玩具，图②是该鲁班锁类玩具的直观图，则该鲁班锁玩具有________条棱，若每条棱的长均为1，其表面积为________． 36　12(＋1)＋2　解析：图中共有8个正三角形，6个正八边形，则共有＝36条棱； 设正三角形、正八边形的面积分别为S1，S2， ∵∠DAB＝135°，所以∠ADC＝45°， AE＝，DC＝2DE＋AB＝＋1，故S2＝2××＋(＋1)×1＝2＋2. 又S1＝，∴表面积S＝8·S1＋6·S2＝2＋12＋12＝12(＋1)＋2. [训练3]　学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g. 118．8　解析：由题意得，SEFGH＝4×6－4××2×3＝12(cm2)，四棱锥O­EFGH的高为3 cm，∴VO­EFGH＝V1＝×12×3＝12(cm3).又长方体ABCD­A1B1C1D1的体积V2＝4×6×6＝144(cm3)， 所以该模型体积为V＝V2－V1＝144－12＝132(cm3)，其质量为0.9×132＝118.8(g). 1．三点共线问题 证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证第三点是两个平面的公共点，则此点必在两个平面的交线上． 2．共面问题 证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，然后证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，然后证明这些平面重合． 3．三线共点问题 证明三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题． [训练4]　如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. 求证：(1)E、F、G、H四点共面； (2)EG与HF的交点在直线AC上． 证明：(1)∵BG∶GC＝DH∶HC，∴GH∥BD. ∵E，F分别为AB，AD的中点， ∴EF∥BD，∴EF∥GH， ∴E，F，G，H四点共面． (2)∵G，H不是BC，CD的中点， ∴EF∥GH，且EF≠GH，故EFHG为梯形． ∴EG与FH必相交，设交点为M，而EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD， ∴M∈平面ABC，且M∈平面ACD. 又∵平面ABC∩平面ACD＝AC， ∴M∈AC，即GE与HF的交点在直线AC上． [训练5]　正方体ABCD­A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M.求证：点C1、O、M共线． 证明：如图，因为A1A∥C1C， 所以直线A1A，C1C确定平面A1C. 因为O∈A1C，A1C⊂平面A1C， 所以O∈平面A1C. 因为平面BC1D∩直线A1C＝O， 所以O∈平面BC1D， 所以O在平面A1C与平面BC1D的交线上． 因为AC∩BD＝M， 所以M∈平面BC1D，且M∈平面A1C. 所以平面BC1D∩平面A1C＝C1M. 所以O∈C1M.　即O、C1、M三点共线． 1．立体几何中的平行问题有三类：一是线线平行，由平行线的传递性和面面平行的性质定理可以证明线线平行，由线面平行(或垂直)的性质定理可以证明线线平行；根据线线平行可以得出两条异面直线所成的角，可以证明线面平行等；二是线面平