模块复习课(九) 解三角形（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册（人教版B版2019）

[对应学生用书P91] [对应学生用书P91] 利用正、余弦定理解三角形问题主要就是利用正、余弦定理及其变形式求三角形的边和角，此类问题主要有以下四种类型： (1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角． (2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边． (3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角． (4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边． [训练1](2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac＝，②c sin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？ 解：方案一：选条件①. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝， 由此可得b＝c. 由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1. 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1. 方案二：选条件②. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝， 由此可得b＝c，B＝C＝，A＝. 由②c sin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6. 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2. 方案三：选条件③. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝，由此可得b＝c. 由③c＝b，与b＝c矛盾． 因此，选条件③时问题中的三角形不存在． 1．欲判断三角形的形状特征，必须深入研究三角形的边与边的大小关系，还要研究角与角的大小关系．解这类问题的思想方法是：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换转化，逐步将给出的式子化为纯粹的边与边的关系或角与角的关系，通过运算求出边或角的大小，或者确定边与边或角与角之间的等量关系，从而正确判定三角形的形状． 2．判定三角形形状时的常用结论有 ①在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B⇔cos A＜cos B； ②在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋B＝π－C，＝－，则cos (A＋B)＝－cos C，cos ＝sin ，sin (A＋B)＝sin C，sin ＝cos ； ③在△ABC中，a2＋b2＜c2⇔cos C＜0⇔＜C＜π，a2＋b2＝c2⇔cos C＝0⇔C＝，a2＋b2＞c2⇔cos C＞0⇔0＜C＜. [训练2](2020·全国卷Ⅱ文科·T17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cosA＝. (1)求A; (2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形． (1)解：由已知得sin2A＋cosA＝， 即cos2A－cosA＋＝0. 所以＝0，cos A＝. 由于0<A<π，故A＝. (2)证明：由正弦定理及已知条件可得 sin B－sin C＝sin A. 由(1)知B＋C＝， 所以sin B－sin ＝sin . 即sin B－cos B＝， sin ＝. 由于0<B<， 故B＝.从而△ABC是直角三角形． 求三角形的面积需知道三角形的边及角，因此求三角形的面积与正、余弦定理的应用密切相关，常见的三角形面积公式有以下几种： (1)S△ABC＝aha＝bhb＝chc. (2)S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B. (3)S△ABC＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径). (4)S＝(R为外接圆半径). [训练3](2020·北京卷·T17)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： (1)a的值； (2)sin C和△ABC的面积． 条件①：c＝7，cos A＝－； 条件②：cos A＝，cos B＝. 解：选条件①：c＝7，cos A＝－，且a＋b＝11. (1)在△ABC中，由余弦定理，得 cos A＝＝＝－， 解得a＝8. (2)∵cos A＝－，A∈(0，π)，∴sin A＝. 在△ABC中，由正弦定理，得＝， ∴sin C＝＝＝. ∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3， ∴S△ABC＝ab sin C＝×8×3×＝6. 选条件②：cos A＝，cos B＝，且a＋b＝11. (1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cos A＝，cos B＝， ∴sin A＝，sin B＝. 在△ABC中，由正弦定理，可得＝， ∴＝＝＝.又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5. (2)sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B) ＝sin A cos B＋cos A sin B