第9章 习题课——正弦定理与余弦定理的综合（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册（人教版B版2019）

习题课——正弦定理与余弦定理的综合 课程标准 学科素养 1．掌握三角形的面积公式及其应用． 2．熟练掌握利用正、余弦定理判断三角形形状的方法． 3．能够运用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题． 通过学习正、余弦定理的应用，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P9] 在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝2，求c. [分析]　已知两边及其中一边的对角，法一利用余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A建立关于c的一元二次方程，解方程即可．法二利用正弦定理求出角B，C，再求c. 解： 法一：在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，化简得c2－2c＋1＝0，∴c＝1. 法二：由正弦定理＝，得sin B＝＝1， ∴B＝90°，C＝30°. 由勾股定理，得c2＝b2－a2＝4－3＝1， ∴c＝1. 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形，基本解法有两种：方法一，先利用正弦定理求出另一条边所对角，再利用内角和定理求出第三个角，最后用正弦定理求出第三边；方法二，先利用余弦定理列一元二次方程，求出第三边(注意边的取舍)，再利用余弦或正弦定理求其他的两个角． [训练1]　在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、角C和边a. 解：方法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B， 得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°， 即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝30°，C＝120°； 当a＝6时，由余弦定理得cos A＝＝0， A＝90°，C＝60°. 方法二　由正弦定理结合已知条件得＝， 所以sin C＝.又因为0°＜C＜180°，所以C＝60°或120°. 当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理得a＝＝6； 当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，a＝b＝3. 已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，试判断此三角形的形状． [分析]　本题考查正、余弦定理的应用，可以利用正、余弦定理化边为角或化角为边来判断． 解： 解法一：(利用边的关系判断) 由正弦定理，得＝. ∵2cos A sin B＝sin C，∴cos A＝＝. ∵cos A＝，∴＝， ∴c2＝b2＋c2－a2，∴a2＝b2，∴a＝b. ∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab. ∵a＝b，∴4b2－c2＝3b2，∴b2＝c2，∴b＝c， ∴△ABC为等边三角形． 解法二：(利用角的关系判断) ∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin (A＋B). ∵2cos A sin B＝sin C， ∴2cos A sin B＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B， ∴sin A cos B－cos A sin B＝0，∴sin (A－B)＝0. ∵0°＜A＜180°，0°＜B＜180°， ∴－180°＜A－B＜180°，∴A－B＝0，即A＝B. ∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， ∴(a＋b)2－c2＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab. ∵c2＝a2＋b2－2ab cos C， ∴cos C＝＝，∴C＝60°， ∴△ABC为等边三角形． 在判断三角形的形状时，一般考虑从两个方向进行变形：一个方向是边，走的是代数变形途径，通常是正、余弦定理结合运用；另一个方向是角，走的是三角变换的途径． [训练2]　在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc cosB cos C，试判断△ABC的形状． 解：解法一　由正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，知原式可化为 R2sin2B sin2C＝R2sin B sin C cos B cos C. ∵sin B sin C≠0，∴sin B sin C＝cos B cos C. ∴cos B cos C－sin B sin C＝0.即cos (B＋C)＝0. ∴B＋C＝90°.∴A＝90°.∴△ABC为直角三角形． 解法二　将已知等式变为 b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bc cosB cos C. 由余弦定理，得 b2＋c2－b2·()2－c2·()2 ＝2bc··， 即b2＋c2＝. 整理得b2＋c2＝a2.故△ABC为直角三角形． (1)在△ABC中，A＝30°，C＝45°，a＝2，求S△ABC； (2)若△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°， 求边AB的长度． [分析]　对于(1)，已知△ABC的两角及其中一角的对边，可通过解三角形求出另外的量再求面积；对于(2)，可通过面积公式，求出AC，可利用余弦定理求AB，也可以利用三角形的性质求AB. 解　(1)解法一：∵A＝