11.1.6 祖暅原理与几何体的体积（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册（人教版B版2019）

11.1.6　祖暅原理与几何体的体积 课程标准 学科素养 1．了解祖暅原理的内容，了解利用祖暅原理推导柱体、锥体、球的体积公式的过程． 2．掌握柱体、锥体、台体、球的体积公式，能运用公式解决简单的实际问题． 通过学习祖暅原理与几何体的体积，达成直观想象、数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养． [对应学生用书P57] 1．祖暅原理：幂势既同，则积不容异． 2．含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．如图所示． 1．夹在两个平行平面间的三棱锥和三棱柱，如果它们的底面积相等，那么这两个几何体的体积是否相等？ 提示　被平行于这两个平面的任意平面所截时，三棱锥和三棱柱不满足两个截面的面积总相等，故这两个几何体的体积不相等． 2．若三棱柱ABC­A1B1C1与圆柱O′O的高相等，且△ABC的面积与底面圆O的面积相等，那么它们的体积是否相等？ 提示　根据祖暅原理，知三棱柱ABC­A1B1C1与圆柱O′O的体积相等． 1．柱体(棱柱与圆柱) (1)结论：等底面积、等高的两个柱体，体积相等． (2)体积：如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为V柱体＝Sh． 2．锥体(棱锥与圆锥) (1)结论：等底面积、等高的两个锥体，体积相等． (2)体积：如果锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积计算公式为V锥体＝Sh． 3．台体(棱台与圆台)的体积：如果台体的上、下底面面积分别为S1、S2，高为h，则台体的体积计算公式为V台体＝(S2＋＋S1)h． 1．圆锥的底面半径为4，母线长为6，则体积为________． π　解析：因为圆锥的高h＝＝2，所以体积V锥体＝Sh＝π×42×2＝π. 2．已知棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则棱台的体积为________． 28　解析：V＝(4＋16＋8)×3＝28. 如果球的半径为R，那么球的体积计算公式为V球＝． 1．若将球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的(　　) A．2倍　　　　　　　 B．4倍 C．8倍 D．16倍 C　解析：设球原来的半径为r，体积为V，则V＝πr3，当球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的23＝8倍． 2．已知球的表面积是64π，则该球的体积为________． π　解析：设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝64π，解得R＝4.体积V＝πR3＝π. 1．概念：由简单几何体组合而成的几何体一般称为组合体．常见的组合体大多是由柱、锥、台、球等几何体组成的． 2．求组合体的体积(或表面积)时，只需要算出其中每个几何体的体积(或表面积)，然后再处理即可． 1．如图所示的组合体，其结构特征是(　　) A．两个圆锥 B．两个圆柱 C．一个棱锥和一个棱柱 D．一个圆锥和一个圆柱 D　解析：如题图所示的几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成的组合体． 2．如图是由一个圆锥和一个半球组成的组合体，数据如图，则该组合体的体积为________． 96π (cm3)　解析：因为V半球＝×πR3＝×π×43＝π (cm3)， V圆锥＝πr2h＝π×42×10＝π (cm3)， 所以V＝V半球＋V圆锥＝π＋π＝96π (cm3). [对应学生用书P58] (1)过长方体的一个顶点的三条棱长的比为1∶2∶3，对角线的长为2，求这个长方体的体积； (2)如图，在三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1­ABC，三棱锥B­A1B1C，三棱锥C­A1B1C1的体积之比． [分析]　对于(1)，需求出三条棱长，便可求出体积；对于(2)，设出棱台的高为h，S△ABC＝S，由于三棱锥A1­ABC，三棱锥C­A1B1C1的底面积和高都确定，直接利用公式求解；对于三棱锥B­A1B1C，其体积等于总棱台的体积减去另两个三棱锥的体积． 解：(1)设长方体的三条棱长分别为a，2a，3a，由题意得a2＋(2a)2＋(3a)2＝(2)2，得a＝2，∴长方体的三条棱长分别为2，4，6，∴其体积V＝2×4×6＝48. (2)设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S. ∴V三棱锥A1­ABC＝S△ABC·h＝Sh， V三棱锥C­A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh. 又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh， ∴V三棱锥B­A1B1C＝V台－V三棱锥A1­ABC－V三棱锥C­A1B1C1 ＝Sh－－＝Sh，∴体积比为1∶2∶4. [变式]　已知正三棱台的上、下底面边长分别是2 cm与4 cm，侧棱长是 cm，试求该三棱台的体积． 解：如图，O′、O是上、下底面的中心，连接OO′、O′B′、OB，在平面BCC′B′内过B′作B′D⊥BC于D，在平面BOO′B′内作B