11.1.4 棱锥与棱台（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册（人教版B版2019）

11．1.4　棱锥与棱台 课程标准 学科素养 1．认识棱锥、棱台的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2．能够识别和区分棱柱、棱锥与棱台． 通过学习棱锥与棱台，达成直观想象、数学抽象及数学运算的核心素养． [对应学生用书P48] 1．棱锥的定义：如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥．棱锥中，是多边形的那个面称为棱锥的底面，有公共顶点的各三角形称为棱锥的侧面，各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点，相邻两侧面的公共边称为棱锥的侧棱． 2．棱锥的分类及表示：按底面的形状分为三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)，五棱锥(底面是五边形)，……. 棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示，例如四棱锥可表示为：四棱锥P­ABCD或四棱锥P­AC. 3．棱锥的高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)称为棱锥的高． 4．棱锥的侧面积：棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积． 5．正棱锥及其性质 (1)正棱锥的定义：如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥． (2)正棱锥的性质：正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高． 1．各个面都是三角形的几何体一定是三棱锥吗？ 提示　如图所示的几何体，各个面都是三角形，但该几何体不是三棱锥． 2．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥吗？试举例说明． 提示　不一定，如图． 1．棱台的定义：一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台．原棱锥的底面与截面分别称为棱台的下底面和上底面，其余各面称为棱台的侧面，相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱． 2．棱台的分类及表示：按底面的形状分为三棱台(底面是三角形)、四棱台(底面是四边形)、……，棱台可用上底面与下底面的顶点表示，例如底面是四边形的棱台可表示为四棱台ABCD­A′B′C′D′. 3．棱台的高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱台的高． 4．棱台的侧面积：棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积． 5．正棱台及其性质 (1)正棱台的定义：由正棱锥截得的棱台称为正棱台． (2)正棱台的性质：正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高． 1．思考辨析 (1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台．(　　) (2)棱台的侧面都是等腰梯形．(　　) 答案　(1)×　(2)× 2．下列命题中正确的是(　　) A．棱台的侧面可以是平行四边形 B．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．棱台的底面是两个相似的正方形 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 D　解析：棱台的侧面是梯形，一定不会是平行四边形，故A错；B中侧棱不一定交于一点；C中底面不一定是正方形． [对应学生用书P49] 下面关于棱锥的说法中正确的是(　　) A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C．正棱锥的侧棱不一定相等 D．过棱锥的不相邻的两侧棱的截面是三角形 D　解析：由于棱锥的定义是：“有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体是棱锥，”由于A中缺少了定义中的“其余各面是有一个公共顶点的三角形”，故A不正确；由于正棱锥的概念中除了底面是正多边形外，还要求顶点在底面上的射影是底面的中心，否则就不是正棱锥，故B不正确；根据正棱锥的概念可知，正棱锥的侧棱长都相等，故C不正确，D显然正确． 棱锥有如下性质 (1)侧棱有公共点，即棱锥的顶点；侧面都是三角形． (2)底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图a所示． (3)过不相邻的两侧棱的截面是三角形，如图b所示． [训练1]　下列棱锥有6个面的是(　　) A．三棱锥　　 B．四棱锥　　 C．五棱锥　　 D．六棱锥 C　解析：三棱锥有4个面，四棱锥有5个面，五棱锥有6个面，六棱锥有7个面． 关于几何体ABC­A1B1C1，平面ABC与平面A1B1C1平行，其中能构成棱台的是(　　) A．AB＝1，AC＝2，BC＝2，A1B1＝2，A1C1＝2，B1C1＝2 B．AB＝1，AC＝2，BC＝2，A1B1＝3，A1C1＝4，B1C1＝4 C．AB＝1，AC＝2，BC＝2，A1B1＝2，A1C1＝4，B1C1＝4 D．AB＝2，AC＝4，BC＝3，A1B1＝5，A1C1＝3，B1C1＝4 [分析]　由于棱台的两个底面互相平行，侧棱延长后相交于一点，因此棱台的对应边成比例，通过计算可知答案． C　解析：∵