11.1.1 空间几何体与斜二测画法（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册（人教版B版2019）

11．1　空间几何体 11．1.1　空间几何体与斜二测画法 课程标准 学科素养 1．利用实物、计算机软件等观察空间图形． 2．掌握斜二测画法的步骤． 3．能用斜二测画法画出一些简单的平面图形和空间图形的直观图． 通过学习斜二测画法，达成直观想象、数学抽象、逻辑推理的核心素养． [对应学生用书P36] 1．定义：如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体． 2．以前接触过的几何体：长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等． 　观察下面的图形，指出是由什么样的几何体构成的？ 提示　(1)长方体　(2)棱锥　(3)球 1．空间图形的直观图：立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，习惯上称为空间图形的直观图． 2．用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x′轴和y′轴， 使得它们正方向的夹角为45°(或135°)． (2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x′轴平行(或重合)的线段，且长度不变．平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y′轴平行(或重合)的线段，且长度为原来长度的一半． (3)连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线． 1．思考辨析 (1)角的水平放置的直观图一定是角．(　　) (2)长度相等的线段，在直观图中长度仍相等．(　　) (3)若两条线段平行，则在直观图中对应的线段仍平行．(　　) (4)若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB的实际长度为4 cm，若AB∥x轴，则画出直观图后对应线段A′B′＝________，若AB∥y轴，则画出直观图后对应线段A′B′＝________． 答案　4 cm　2 cm 1．用斜二测画法作立体图形直观图的步骤 (1)在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴和y轴，作出水平平面上图形的直观图(保留x′轴与y′轴). (2)在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴．过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴，且z′轴垂直于x′轴． 图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z′轴平行(或重合)的线段，且长度不变． 连接有关线段． (3)擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除). 2．斜二测画法记忆口诀：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮为虚，空间观感好体现． 3．注意事项：立体几何中的直观图，不都是用斜二测画法作出的． 1．思考辨析 (1)利用斜二测画法作立体图形的直观图时，平行于z轴的线段在直观图中平行于z′轴，且长度不变．(　　) (2)利用斜二测画法作立体图形的直观图时，立体图形放置的角度不同，作出的直观图也不一样．(　　) 答案　(1)√　(2)√ 2．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为(　　) A．4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm B．4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm C．4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm D．2 cm，0.25 cm，1 cm，0.8 cm D　解析：由比例尺可知长方体的长、宽、高和锥高分别为2 cm，0.5 cm，1 cm和0.8 cm，再结合直观图的画法可知，直观图中相应尺寸分别为2 cm，0.25 cm，1 cm和0.8 cm. [对应学生用书P37] 用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． [分析]　依据斜二测画法，→ 解：画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. (2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD. (3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图． [变式]　把本例“等腰梯形”换成“直角梯形，如下图”，试画出该图的直观图． 解：(1)在已知的直角梯形ABCD中，以底边AB所在直线为x轴，垂直于AB的腰AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①. (2)画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上取O′B′＝AB，在y′轴上取O′D′＝AD，过D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.如图②. (3)连接B′C′，擦去作图过程中的辅助